Beweis, dass Quadrathalbierende Gerade durch Schwerpunkt geht

Question

Die Aufgabe ist es zu beweisen, dass eine Gerade g, die ein Quadrat in zwei gleich große Teile zerteilt immer durch den Schwerpunkt geht.

Das ist eigentlich wenn man drüber nachdenkt recht offensichtlich, allerdings suche ich nach einem korrekten mathematischen Beweis.

Mein erster Ansatz war ein Koordinatensystem, in dem ich den Schwerpunkt in den Ursprung setze und dann durch viele Umformungen zeige, dass die Gerade durch diesen Punkt gehen muss, wenn die beiden Teilflächen gleich groß sein sollen. Bin so auch zu einem Ergebnis gekommen. Damit war mein Mathelehrer allerdings nicht zufrieden und nachdem ich einen weiteren Tag nicht weitergekommen bin würde ich mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

Teile ein Einheitsquadrat durch eine Gerade in zwei Teile:

Dann entstehen zwei Trapezflächen(x+1-y)/2 und (y+1-x)/2,   die ja gleichgroß sein sollen: (x+1-y)/2 = (y+1-x)/2 ⇔ x=y. Daher sind die Trapeze punktsymmetrisch zum Mittelpunkt M des Quadrates und die Teilungsgerade geht durch M.

Comments

Der Beweis ist unvollständig, denn er setzt voraus, dass die Gerade zwei gegenüberliegende Seiten schneidet. Der triviale Fall, dass die Gerade auf der Diagonale liegt wurde nicht behandelt. Die Möglichkeit, dass die Gerade das Quadrat in zwei benachbarten Seiten schneidet, wurde nicht ausgeschlossen.

War eigentlich schon Abgabeschluss für diese Aufgabe der Mathematikolympiade?