Nehmen wir eine Hypothese Ho an oder die Alternative H1 ?
Nullhypothese sei, dass p ≥ 0,6, dass Rührvorgang richtig getippt wird. Diese Angabe sollte eigentlich in der Aufg. stehen.
Alternative H1: p < 0,6,
X = Anzahl der "Treffer" , X ist binomialverteilt (n=20, p=0,6), weil ...
Betrachte den Grenzfall p = 0,6! Mache Test: 20 mal rühren!
X∈{0,1,2, ..., 20}
Annahme von Ho, falls viele "Treffer"
Ablehnung von Ho, falls wenige Treffer
Ablehnungsbereich Ā = {0,1,2, ..., g}
Diese natürlichen Zahlen sind klein, stehen also links in einer Zahlenreihe, d.h. wir machen einen "linksseitigen" Test.
P(X∈Ā) = P(X ≤ g) = P(richtiges Ho ablehnen) = P(Ho ablehnen, obwohl Ho stimmt)
= P(α-Fehler machen) = P(Fehler 1. Art machen) = Irrtumswahrscheinlichkeit
≤ 0,05 = α = Signifikanzniveau (= maximale Irrtumswahrscheinlichkeit)
Die Wahrscheinlichkeit P(X∈ Ā) ist höchstens 0,05 = 5%, also gering!
B20;0,6 – Verteilung: P(X ≤ g) ≤ 0,05 Þ TR: g = 7
ab 8 kippt diese Wahrscheinlichkeit:
P(höchstens 8 Treffer) = 0,0573 > 0,05
Die Wahrscheinlichkeit, dass es 7 oder weniger Treffer gibt, wenn P(Treffer) = 0,6 (oder höher) stimmt, ist ≤ 0,05, also unwahrscheinlich. Wenn p > 0,6, dann erst recht!
Antw: Der Test zeigt 13 Treffer. Ho wird nicht abgelehnt.
Fehlerarten:
1. Art: Eine richtige Hypothese (Behauptung) wird irrtümlich abgelehnt.
Bsp: Hypothese = "ist als Pilot geeignet"
wird abgelehnt, obwohl in Wirklichkeit "geeignet" stimmt.
Dies ist ein Fehler 1. Art. Dies ist nicht sooo schlimm für viele Passagiere.
2. Art: Eine falsche Hypothese wird irrtümlich angenommen.
Bsp: Hypothese = "ist als Pilot geeignet"
wird angenommen, obwohl in Wirklichkeit "nicht geeignet" stimmt.
Dies ist ein Fehler 2. Art. Er ist "gut" für einen Menschen (Pilot), schlimm für viele (Passagiere).
bezogen auf die vorliegende Aufgabe:
bis 7: Ablehnungsbereich für Ho
ab 8: Annahmebereich für Ho
Problem: Es könnte sein, dass in Wirklichkeit p=0,5 ist, obwohl eine Testreihe ein Ergebnis im Annahmebereich für Ho brachte. Ho: p ≥0,6 wird angenommen, obwohl es falsch ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Irrtum?
P(X ≥ 8) = b = Risiko 2. Art = P(Annahme von Ho, obwohl Ho falsch ist)
= P(b-Fehler machen) = P(Fehler 2. Art machen)
konkret: Es liegt eine B20;0,5 – Verteilung vor.
P(X ≥ 8) = P(Annahme von Ho, obwohl p=0,5) = 1 - P(X ≤ 7) = 0,87
Antw: Die Wahrscheinlichkeit, Ho anzunehmen, also p ≥ 0,6 zu glauben, obwohl
in Wirklichkeit p = 0,5 stimmt, ist hoch, nämlich 87%
