Question

Gegeben sei die Menge G := {x ∈ R | − 1 < x < 1} zusammen mit der Verknupfung 
x ◦ y := x + y/1 + xy

1). Zeigen Sie, dass 1 + xy ungleich 0 ist, für alle x, y ∈ G und x ◦ y ∈ G für alle  x, y ∈ G.

2). Zeigen Sie, dass (G, ◦) eine abelsche Gruppe ist.

Answer 1

 Zeigen Sie, dass 1 + xy ungleich 0 ist

Wenn einer von beiden 0 ist, ist 1+xy=1 also ungleich 0

Anderenfalls (beide ungleich 0) gilt

        1 + xy =0

<=>  1 = - xy

<=>  -1/x  = y .

Da x∈G ist gibt es zwei Fälle

   1.Fall                -1 < x < 0   | :x

==>      -1/x > x/x = 1     |

==>          y > 1  im Widerspruch zu y∈G.

 2.Fall     0 < x  < 1   :x

                     1 < 1/x = -y

                  ==>  -1 > y   im Widerspruch zu y∈G.

Die Annahme   1 + xy =0 führt also in beiden Fällen auf einen

Widerspruch.          q.e.d.