Aus Menge zwei verschiedene Basen des R^2 auswählen

Question

Wählen Sie aus der folgenden Menge zwei verschiedene Basen des \( \mathbb{R}^{2} \) aus:
$$ \left\{\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right), \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \end{array}\right), \vec{v}_{3}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {0} \end{array}\right), \vec{v}_{4}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \end{array}\right), \vec{v}_{5}=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {i} \end{array}\right), \vec{v}_{6}=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \end{array}\right)\right\} $$

Die einzigen Kombis sind meinerMeinung nach v2,v4 & v2,v6

komme aber einfach nichtweiter beim Auflösen nach ∝

linear unabhängig sollten sie sein, denn meiner Meinung nach ist bei beiden ∝1,2=0

Kann mir jemand weiterhelfen, wäre sehr dankbar

Comments

bei v2,v6 EZS muss natürlich = (a,b) stehen

Answer 1

aus der 2. Zeile folgt α1=α2. Das in die 1. Zeile eingesetzt: 2α1=0, also α1=α2=0, also lin. unabh.

Der Rest geht genauso. Die Auswahl ist richtig.

Answer 2

Hallo

was du mit dem Kommentar meinst verstehe ich nicht.

aber in deinen Gleichungen hast du doch I+II 2α₂=0 dann auch α₁=0

und damit die Bedingung für linear unabhängig erreicht.

(in 2d sind 2Vektoren nur linear abhängig ,wenn sie Vielfachen voneinander sind)

deine Auswahl ist korrekt.

Gruß lul

Comments

Ja na klar, I+II=0 -> ∝1,2=0 , sorry ich hatte ewig kein Mathe mehr..

Mir geht es um das EZS, da ich einfach nicht weiß wie ich da nach ∝1,2 umstelle für a und b

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das heißt also ich kann bei v2,v4 EZS I+II .-> 2*∝₂ = a+b -> ∝₂=(a+b)/2 und ∝₁=a-((a+b)/2)

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Hallo

was ist EZS

 und du brauchst doch nur zeigen, dass die Linearkombination der Vektoren nur Null ist, wenn beide alphas 0 sind, dann sind sie linear unabhängig. das mit a und b ist unnötig für die lineare Unabhängigkeit.

Gruß lul

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Wir sollen ja eine Basis des R^2 bestimmen und bei uns müssen wir dafür einmal zeigen dass die Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem des R^2 sind

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Hallo

wenn du in R^2 bist und 2 Lin unabhängige Vektoren hast bilden die doch eine Basis und damit erzeugen die Linearkombinationen den ganzen Raum, das muss man nicht jedesmal neu für 2 Lin. unabhängig. Vektoren zeigen.

aber wenn du es unbedingt willst, schadet es ja nichts.

Gruß lul