Aufgabe:
Vorbemerkung: Seien a,b positive reelle Zahlen und n ∈ N. Der Binomiallehrsatz,
Wie erhält man die Formel für (a+b)^n der Binomialentwicklung von (1+x)^n ?
Vorbemerkung: Seien \( a, b \) positive reelle Zahlen und \( n \in \mathbb{N} . \) Der Binomiallehrsatz, siehe Folgerung 1.8 der Vorlesung, wird häufig auch in der Form
$$ (a+b)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{n-k} b^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}\quad (*) $$
formuliert.
a) Wie erhält man die Formel \( (*) \) aus Folgerung \( 1.8 ? \)
b) Beweisen Sie mit Hilfe der Formel (*) für beliebige \( a, b \geq 0 \) die Ungleichungskette
$$ |\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}| \leq \sqrt[n]{|a-b|} \leq \sqrt[n]{a+b} \leq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b} $$ Folgerung 1.8 Binomialentwicklung
Für \( x \in \mathbb{R} \) und beliebige Exponenten \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( (1+x)^{n}=1+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) x+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) x^{2}+\ldots+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-1}\end{array}\right) x^{n-1}+x^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) x^{k} \)
Problem/Ansatz:
ich komme mit dieser Übung überhaupt nicht klar kann jemand mir bitte bitte helfen :(
