Wie erhält man die Formel für (a+b)n der Binomialentwicklung von (1+x)n?

Question

Aufgabe:

Vorbemerkung: Seien a,b positive reelle Zahlen und n ∈ N. Der Binomiallehrsatz,

Wie erhält man die Formel für (a+b)ⁿ der Binomialentwicklung von (1+x)ⁿ ?

Vorbemerkung: Seien $a, b$ positive reelle Zahlen und $n \in \mathbb{N} .$ Der Binomiallehrsatz, siehe Folgerung 1.8 der Vorlesung, wird häufig auch in der Form
$$(a+b)^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{n-k} b^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}\quad (*)$$

formuliert.
a) Wie erhält man die Formel $(*)$ aus Folgerung $1.8 ?$
b) Beweisen Sie mit Hilfe der Formel (*) für beliebige $a, b \geq 0$ die Ungleichungskette
$$|\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}| \leq \sqrt[n]{|a-b|} \leq \sqrt[n]{a+b} \leq \sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$$ Folgerung 1.8 Binomialentwicklung
Für $x \in \mathbb{R}$ und beliebige Exponenten $n \in \mathbb{N}_{0}$ gilt
$(1+x)^{n}=1+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) x+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) x^{2}+\ldots+\left(\begin{array}{c}{n} \\ {n-1}\end{array}\right) x^{n-1}+x^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right) x^{k}$

Problem/Ansatz:

ich komme mit dieser Übung überhaupt nicht klar kann jemand mir bitte bitte helfen :(

Answer 1

(a+b)ⁿ=(b+a)ⁿ=bⁿ(1+a/b)ⁿ        aus jedem Faktor b ausklammern, also insgesamt n Stück, dann 1.8 anwenden

=$b^{n} \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}(a/b)^k}$          jetzt bⁿ reinmult. 

=$\sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}a^{k}b^{n-k}}$

Comments

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            '

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dieser Text sieht nicht deutlich aus, was wird mit diesem Text gemeint ?

könntest du noch näher erklären ?

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jetzt ok        '

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vielen dank. was wäre die Lösnug für b) ?

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Nimm einfach jedes Ungleichungsglied hoch n.

Das mittlere ≤ stimmt dann. Der 3. Term heißt dann a+b. Schreib für a

($\sqrt[n]{a}$ )ⁿ Schätze nach oben ab mit dem Satz.