Konvergenzbeweis N wählen

Question

Wir betrachten eine alternative Formulierung der Dichtheit. Eine Teilmenge M ⊂ R heißt dicht
in ℝ, falls zu jedem x ∈ ℝ eine Folge (a_n)_n∈ℕ ⊂ M existiert mit lim_n→∞ an = x, d.h. jedes
x ∈ ℝ ist Grenzwert einer Folge in M.
Zeigen Sie, dass die rationalen Zahlen ℚ gemäß dieser Definition dicht in ℝ sind.

Hinweis: Betrachten Sie für ein  x ∈ ℝ die Folge (a_n)_n∈N ⊂ Q, definiert durch an := $\frac{⌊xn⌋}{n}$ für n > 0

Anhand des Tipps dachte Ich mir, ich zeige das die Folge a_n gegen x konvergiert, damit dürfte dann ja gezeigt sein, dass ℚ dicht in ℝ liegt.

Also versuchte Ich |$\frac{⌊xn⌋}{n}$ - x | abzuschätzen

_{|$\frac{⌊xn⌋}{n}$ - x | < ε}

_{|$\frac{⌊xn⌋}{n}$ - x | ≤  |$\frac{xn}{n}$ - x | = |x - x| = 0 < ε}

Wie soll ich hier bitte jetzt ein N wählen? N = 0? Kein N?

Comments

Die eckigen Klammern sind doch Entiers?

Dann ist deine erste Umformung falsch.

Setz mal n=1, x=1,9
Ι[1,9*1]/1 -1,9I=Ι1-1,9I=0,9<ε

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Das sind Gaußklammern, diese art der Gaußklammern runden eine reelle Zahl x auf die größte ganze Zahl >x ab.

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Gauss = Entiers

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Vom Duplikat:

Titel: Jedes Element von R als Grenzwert einer Folge in Q

Stichworte: analysis,lineare-algebra,reelle-zahlen,folge,grenzwert

Man soll zeigen, dass sich jedes x€R als Grenzwert einer Folge in Q schreiben lässt.

Also ich bin darauf gekommen, dass es reicht zu zeigen, dass sich jede irrationale Zahl als Folge in Q schreiben lässt. Denn jede rationale Zahl lässt sich trivialerweise als konstante Folge in Q schreiben.

Weiß jemand also, wie sich eine beliebige irrationale Zahl in Q als Folge schreiben lässt? Bin sehr dankbar für jede Hilfe :)

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Hallo

 wie genau habt hr denn reelle Zahlen definiert?

lul

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Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/665615/konvergenzbeweis-n-wahlen

Answer 1

Es gilt jedenfalls immer

$$xn-1 ≤ ⌊xn⌋ ≤ xn+1$$

also

$$x-1/n ≤ ⌊xn⌋ / n ≤ x+1/n$$

Und weil 1/n gegen 0 geht, geht

$$⌊xn⌋ / n$$  gegen x. (Grenzwertsatz).

Comments

Das macht Sinn, wäre denn ein Epsilon Beweis dafür überhaupt möglich gewesen?

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Das ist doch der Epsilonbeweis:

x−1/n≤⌊xn⌋/n≤x+1/n   minus x auf allen Seiten:

−1/n≤⌊xn⌋/n-x≤+1/n als Betrag:

Ι⌊xn⌋/n-xΙ≤1/n<ε

Nimm N ...

Genial einfacher Beweis. Dann brauch ich meinen nicht zu schicken:

x aufspalten: x=a+$\sum\limits_{i=1}^{k}{a(i)10^{-i}}$ + $\sum\limits_{i=k+1}^{\infty}{a(i)10^{-i}}$

a∈ℤ, a(i)∈{0,1,2,...9}. Nimm als n eine Zehnerpotenz 10^k. Hat allerdings 2 Seiten gedauert.

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Ein Epsilon Beweis ist dabei doch gar nicht notwendig, aus x−1/n ≤ ⌊xn⌋/n ≤ x+1/n folgt ja schon direkt das lim(⌊xn⌋/n) = x ist wegen den Grenzwertsätzen.