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Wir betrachten eine alternative Formulierung der Dichtheit. Eine Teilmenge M ⊂ R heißt dicht
in ℝ, falls zu jedem x ∈ ℝ eine Folge (an)n∈ℕ ⊂ M existiert mit limn→∞ an = x, d.h. jedes
x ∈ ℝ ist Grenzwert einer Folge in M.
Zeigen Sie, dass die rationalen Zahlen ℚ gemäß dieser Definition dicht in ℝ sind.


Hinweis: Betrachten Sie für ein  x ∈ ℝ die Folge (an)n∈N ⊂ Q, definiert durch an := \( \frac{⌊xn⌋}{n} \) für n > 0


Anhand des Tipps dachte Ich mir, ich zeige das die Folge an gegen x konvergiert, damit dürfte dann ja gezeigt sein, dass ℚ dicht in ℝ liegt.

Also versuchte Ich |\( \frac{⌊xn⌋}{n} \) - x | abzuschätzen

|\( \frac{⌊xn⌋}{n} \) - x | < ε

|\( \frac{⌊xn⌋}{n} \) - x | ≤  |\( \frac{xn}{n} \) - x | = |x - x| = 0 < ε

Wie soll ich hier bitte jetzt ein N wählen? N = 0? Kein N?

Avatar von

Die eckigen Klammern sind doch Entiers?

Dann ist deine erste Umformung falsch.

Setz mal n=1, x=1,9
Ι[1,9*1]/1 -1,9I=Ι1-1,9I=0,9<ε

Das sind Gaußklammern, diese art der Gaußklammern runden eine reelle Zahl x auf die größte ganze Zahl >x ab.

Gauss = Entiers

Vom Duplikat:

Titel: Jedes Element von R als Grenzwert einer Folge in Q

Stichworte: analysis,lineare-algebra,reelle-zahlen,folge,grenzwert

Man soll zeigen, dass sich jedes x€R als Grenzwert einer Folge in Q schreiben lässt.

Also ich bin darauf gekommen, dass es reicht zu zeigen, dass sich jede irrationale Zahl als Folge in Q schreiben lässt. Denn jede rationale Zahl lässt sich trivialerweise als konstante Folge in Q schreiben.

Weiß jemand also, wie sich eine beliebige irrationale Zahl in Q als Folge schreiben lässt? Bin sehr dankbar für jede Hilfe :)

Hallo

 wie genau habt hr denn reelle Zahlen definiert?

lul

1 Antwort

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Beste Antwort

Es gilt jedenfalls immer

$$ xn-1 ≤ ⌊xn⌋ ≤ xn+1  $$

also

$$ x-1/n ≤ ⌊xn⌋ / n ≤ x+1/n  $$

Und weil 1/n gegen 0 geht, geht

$$ ⌊xn⌋ / n$$  gegen x. (Grenzwertsatz).

Avatar von 287 k 🚀

Das macht Sinn, wäre denn ein Epsilon Beweis dafür überhaupt möglich gewesen?

Das ist doch der Epsilonbeweis:

x−1/n≤⌊xn⌋/n≤x+1/n   minus x auf allen Seiten:

−1/n≤⌊xn⌋/n-x≤+1/n als Betrag:

Ι⌊xn⌋/n-xΙ≤1/n<ε

Nimm N ...

Genial einfacher Beweis. Dann brauch ich meinen nicht zu schicken:

x aufspalten: x=a+\( \sum\limits_{i=1}^{k}{a(i)10^{-i}} \) + \( \sum\limits_{i=k+1}^{\infty}{a(i)10^{-i}} \)

a∈ℤ, a(i)∈{0,1,2,...9}. Nimm als n eine Zehnerpotenz 10k. Hat allerdings 2 Seiten gedauert.

Ein Epsilon Beweis ist dabei doch gar nicht notwendig, aus x−1/n ≤ ⌊xn⌋/n ≤ x+1/n folgt ja schon direkt das lim(⌊xn⌋/n) = x ist wegen den Grenzwertsätzen.

Ein anderes Problem?

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