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Sei R ein kommutativer Ring mit Einselemen und I,J Ideale von R. Falls R ein Integritätsbereich ist und J eine Einheit von R enthält, dann ist J=R.

Wie muss ich vorgehen? Hoffe ihr könnt mir helfen.

von

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2 Antworten

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J ⊆ R ist ja klar, gilt für jedes Ideal.

Sei also x∈R.  Und J ist ein Ideal mit e∈J und

e ist eine Einheit, d.h.: Es gibt ein f∈R mit e*f=1 .

Daraus muss man nun herleiten   x∈J.

Da  x∈R  und e∈J und J ein Ideal ist

==>    e*x ∈ J    Da  f∈R also auch

==>  f*(e*x) ∈ J      * ist assoziativ (Ring!)

==>  (f*e)*x ∈ J      Einheit !

==>   1*x   ∈ J       Def. 1

==>     x   ∈ J              q.e.d.

von 177 k 🚀
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Sei a ∈ J eine Einheit von R und b ∈ R.

Dann ist a·b·a-1 ∈ J, weil J Ideal von R ist.

Weil R kommutativ ist, ist a·b·a-1 = a·a-1·b = 1·b = b.

Also ist b ∈ J.

Etwas seltsam kommt mir vor, dass ich anscheinend die Nullteilerfreiheit von R nicht verwendet habe.

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