Aufgabe:
Sei R ein Ring (mit Eins) und sei x ∈ R. Wir bezeichnen mit λx : R →R, y → xy, die Linksmultiplikationsabbildung und mit
ρx : R → R, y → yx, die
Rechtsmultiplikationsabbildung.
a) Wir nennen x eine Einheit in R, wenn es ein y ∈ R mit xy = yx = 1 gibt. Zeigen
Sie, dass x genau dann eine Einheit in R ist, wenn λx und ρx surjektiv sind.
b) Sei R nun kommutativ. Wir nennen x einen Nullteiler in R, falls es ein y ∈ ℝ \ {0}
mit xy = 0 gibt. Zeigen Sie, dass x genau dann kein Nullteiler in R ist, wenn λx
injektiv ist.
c) Sei R nun ein endlicher kommutativer Ring. Zeigen Sie, dass x entweder eine Einheit oder ein Nullteiler ist.
Könnte jemand helfen?
LG Blackwolf
