Beweisen dass jede endliche abelsche Gruppe G geschrieben werden kann

Question

Aufgabe:

Beweise, dass jede endliche, abelsche Gruppe G geschrieben werden kann als G ≅ (ℤ/p1^k1ℤ) x (ℤ/p2^k2ℤ) x ... x (ℤ/pr^krℤ), wo p1,'2,...,pr Primzahlen sind und k1,k2,...,kr ∈ ℤ≥0.

Answer 1

Grobe Idee:

Jedes Element der Gruppe hat eine endliche Ordnung, weil die Gruppe endlich ist.

Zerlege die Gruppe in die Äquivalenzklassen bzgl. der Relation

x ~ y :<=> Es gibt n,m ∈ℕ mit x^n = y^m

Diese Klassen sind alles zyklische Untergruppen von G.

Und vielleicht hilft das noch: https://web.archive.org/web/20110810020213/http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Zyklische_Gruppe.html

ord( m ) =  n /  ggT ( n m ).

Ist p eine Primzahl dann ist die (bis auf Isomorphie) einzige Gruppe der Ordnung p die zyklische Gruppe group C p .

Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen C n und C m ist genau dann zyklisch wenn n und m teilerfremd sind; in diesem Fall ist das Produkt isomorph zu C mn .

Jede endlich erzeuge abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler zyklischer Gruppen.