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Mein Lehrer hat diese Aufgabe an die Tafel angeschrieben und wollte das wir diese lösen

Aufgabe:

Ein Kegel hat deb Radius r und die Höhe h. Sein festes Volumen sei V. Wie müssen r und h gewählt werden, damit die Oberfläche des Kegels minimal wird?

Hilfen: Kegelvolumen: V= 1/3*Pi*r^2*h

           Kegelmantel:    M= Pi*r*s

           Kegelgrundfläche: G= Pi*r^2


Problem/Ansatz:

Ich habe keinen Schimmer was ich hier tun muss, kann mir jemand helfen?

vor von

2 Antworten

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Beste Antwort

Die Oberfläche soll minimal werden, also brauchst du eine Formel für die Oberfläche.

\(\mathcal{O}=M+G=\pi rs+\pi r^2\)

Als nächstes müssen wir s wegbekommen.

Es gilt \(s^2=r^2+h^2\), also \(s=\sqrt{r^2+h^2}\)

Damit bekommen wir  \(\mathcal{O}(r,h)=\pi r \sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2\)

Jetzt nutzen wir noch die Formel für das Volumen, um r oder h zu eliminieren.

\(V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h \Rightarrow r^2={\frac{3V}{\pi h}}\)

Einsetzen:

\(\mathcal{O}(h)=\pi \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} \sqrt{\frac{3V}{\pi h}+h^2}+\pi \frac{3V}{\pi h}\)

\(\mathcal{O}(h)=\pi  \sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 h^2}+\frac{3Vh}{\pi}}+ \frac{3V}{h}\)
\(\mathcal{O}(h)=\pi  \sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h}+ {3V}{h^{-1}}\)

Äußere Ableitung mal innere Ableitung

\(\mathcal{O'}(h)=\frac{1}{2}\pi ({\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h})^{-\frac{1}{2}}\cdot( {\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot(-2)\cdot h^{-3}+\frac{3V}{\pi}})- {3V}{h^{-2}}\)

\(\mathcal{O'}(h)= ({\frac{9V^2}{\pi^2 }\cdot h^{-2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h})^{-\frac{1}{2}}\cdot( {- \frac{9V^2}{\pi}\cdot h^{-3}+\frac{3V}{2}})- {3V}{h^{-2}}\)
\(\mathcal{O'}(h)= \dfrac{- \frac{9V^2}{\pi h^3}+\frac{3V}{2}}{\sqrt{\frac{9V^2}{\pi^2 h^2}+\frac{3V}{\pi}\cdot h}}- \frac{3V}{h^{2}}\)

....

Nun habe ich Wolframalpha befragt:

\( \mathcal{O}'(h)=0 \Rightarrow h = 2 \sqrt[3]{\frac{3V}{\pi}}\approx1.96949 \cdot\sqrt[3]{V}\)

Angaben ohne Gewähr!

vor von 1,1 k

Ja,das hab ich bis jetzt auch schon auf geschrieben, das ist die Hauptbedingung oder?

Ja (wenn du mit Hauptbedingung die Zielfunktion meinst). Nun stelle die Volumenformel nach r oder nach h um, damit hast du die Nebenbedingung und kannst in der Zielfunktion r oder h ersetzen.

Ich habe jetzt leider keine Zeit mehr. Später mache ich dann weiter.

Also ich bin nicht der beste aber:

Volumenformel nach h umgestellt:

-1/3*π/r^2 = h

richtig??

Nein. Wo ist dein V abgeblieben?

Die erfordelichen Rechenbefehle lauten:

mal 3

durch pi

und

durch r².

§..§= wurzel

r=§(3V/(Pi*h))§

so richtig?

Wenn du das Umstellen nach h aufgibst (warum eigentlich) und lieber nach r umstellen willst - ja, man erhält r=\( \sqrt{\frac{3V}{\pi h}} \).

ok also das war jetzt die Neben bedingung, r kann ich jetzt in der Zielfunktion einsetzen oder?

Ja                                          .

ist das dann da eine doppel wurzel wenn ich das r in r^2 einsetze ??

Also das hab ich raus bekommen :

O(r,h)= M+G= Pi*§3V/Pi*h§*§(§3V/Pi*h§)^2+h^2§+Pi*(3V/Pi*h)^2

Das ist nur noch O(h), denn r haben wir ja ersetzt.

Du solltest übrigens r² gleich als \( \frac{3V}{\pi h} \) schreiben und nicht als

\( \sqrt{\frac{3V}{\pi h}}^2 \).

Jetzt viel Spaß beim Bilden der ersten Ableitung.

Oh stimmt ja wie dumm von mir, danke ich melde mich wnn ich die Ableitung gebildet habe

ich hoffe mal ich liege nicht zu falsch:

O`(h) = §3V/Pi§*§(3V/Pi)+2h§+3V/Pi


ich weiß leider nicht wie es sich mit der 3V beim ableiten verhält ich denke mal ,dass das nicht ganz richtig ist oder?

Ich bin zu blöd um die ABleitung zu bilden mein gott eh...

Ich hoffe, ich habe bisher keinen Fehler gemacht...

+1 Daumen

Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe.
Gefragt ist nach r und h, besser dem
Verhältnis von r / zu h.
Ein konkretes Volumen ist nicht gegeben.
Deshalb kann für V auch 1 eingesetzt werden.
V = 1 = 1/3 * pi * r^2 * h
M = pi * r * s
G = pi * r^2
1. Berechnung von h
h = 3 * 1 / ( pi + r^2)
s = √ ( r^2 + h^2 )
M = pi * r * s
M = pi * r * √ ( r^2 + h^2 )
M = pi * r * √ ( r^2 + (3 * 1 / ( pi + r^2))^2 )
O = G + M
O ( r ) = pi * r^2  +  pi * r * √ ( r^2 + (3 * 1 / ( pi + r^2))^2 )
von diesem Lindwurm kann die erste Ableitung
praktisch nur mit einem CAS Programm ermittelt
werden.
1.Ableitung zu 0 setzen und r berechnen
r = 0.696
h ergibt sich dann zu
h = 1.969

Für einen Kegel mit minimaler Oberfläche
ist das Verhältnis r zu h wie 0.696 zu 1.969

Bei Bedarf nachfragen.

vor von 91 k 🚀

ich Besitze den Ti-nspire cx , könnten sie mir eventuell genau sagen wie ich das mit dem herausbekomme?

Hallo Georg,

in der Zeile nach "Berechnung von h" und danach muss es pi*r2 statt pi+r2 heißen.

Oben die Formel für O ( r )

gm-159.JPG

Darunter die 1.Ableitung O ´( r )
Diese zu null setzen und r berechnen

Obere Formel in deine Rechenmaschine
eingeben und die 1.Ableitung bilden lassen.

Hallo mathe_was_sonst,
danke für den Fehlerhinweis.
Gerechnet wurde richtig mit
M = pi * r * √ ( r^2 + (3 * 1 / ( pi * r^2))^2 )
O = G + M
O ( r ) = pi * r^2  +  pi * r * √ ( r^2 + (3 * 1 / ( pi * r^2))^2 )
Was ist dein Ergebnis ?

Für V=1 habe ich auch h≈1.96949 heraus. Stimmt also vermutlich.

ich danke allen die mir geholfen haben es ist zwar etwas Kompliziert aber ich hab jetzt das selbe rausbekommen

Du darfst deinen Dank gerne durch Pluspunkte ausdrücken ...   ;-)

@welpMe
ich danke allen die mir geholfen haben es ist zwar etwas Kompliziert aber ich hab jetzt das selbe rausbekommen
Meinen herzlichen Glückwunsch.

@mathe_was_sonst,
V gleich 1 zu setzen ist natürlich nur ein Trick
um die Berechnung etwas übersichlicher zu gestalten.
Gesucht ist ja nur das Verhältnis von r zu h.
Prinzipiell kann die Berechnung mit beliebigem
V durchgeführt werden.
Das Verhältnis r / h = 0.696 / 1.969 ist stets
dasselbe. Dies ist auch die korrekte Beantwortung
der Frage.

mfg Georg

Ich habe auch noch versucht, die Höhe durch h=k·r zu ersetzen. Dadurch wird die Rechnung aber auch nicht einfacher. 

Was ist k * r ???

Wenn h/r immer denselben Wert hat, also h/r=k(onstant), kann man doch h=k*r schreiben. Das führt aber wie gesagt leider nicht zu einer einfacheren Rechnung.

Sehe ich auch so.
Die Aufgabe dürfe wohl ohne Einsatz von CAS
nicht zu lösen sein.

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