Rechteck in Kreis einbeschrieben. Fläche maximieren

Question

Könnte mir jemand mit dieser Extremalproblem Aufgabe helfen?

Aufgabe:

in einem kreis mit radius r wird wie abgebildet ein rechteck einbeschrieben. Wie müssen Breite 2r und höhe h des Rechtecks gewählt werden, wenn sein Flächeninhalt maximal werden soll?

Lösen sie auch die dreidimensionale Version der Aufgabe:  In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Zylinder mit maximaler Mantelfläche einbeschrieben werden.

Welche maße erhält der Zylinder (Radius r, Höhe h)

Problem/Ansatz:

ich habe leider gar keinen Ansatz, sitze hier jetzt schon gute 30 min rum komme aber zu nichts. Es wäre sehr nett, wenn jemand mir diese Aufgabe verständnissvoll erklären könnte!

danke im voraus LG

(ich bin echt kein guter zeichner, hoffe jedoch dass man etwas erkennen kann.)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Könnte mir jemand mit dieser Extremalproblem Aufgabe helfen (rechreck im Kreis)?

Stichworte: extremalproblem

Aufgabe:

in einem kreis mit radius r wird wie abgebildet ein rechteck einbeschrieben. Wie müssen Breite 2r und höhe h des Rechtecks gewählt werden, wenn sein Flächeninhalt maximal werden soll?

Lösen sie auch die dreidimensionale Version der Aufgabe:  In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Zylinder mit maximaler Mantelfläche einbeschrieben werden.

Welche maße erhält der Zylinder (Radius r, Höhe h)

Problem/Ansatz:

ich habe leider gar keinen Ansatz, sitze hier jetzt schon gute 30 min rum komme aber zu nichts. Es wäre sehr nett, wenn jemand mir diese Aufgabe verständnissvoll erklären könnte!

danke im voraus LG

(ich bin echt kein guter zeichner, hoffe jedoch dass man etwas erkennen kann.)

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Vermutlich entsteht ein Quadrat.

Answer 1

Das Rechteck besteht aus der Hypotenuse 2r
und den Katheten a und b

(2r)^2 = a^2 + b^2
A = a * b

a^2 = (2r)^2 - b^2
a = √( (2r)^2 - b^2 )
A ( b ) =   b * √ ( (2r)^2 - b^2 )
A ´( b ) = [ 4r^2 - b^2 - b^2 ] / ( √ ( 4r^2 - b^2 - b^2 )
min / max A´= 0
Ein Bruch wird null wenn der Zähler null wird
4r^2 - b^2 - b^2  = 0
4r^2 -2b^2 = 0
4r^2 = 2b^2
2r = √2 * b
b = √2 * r
(2r)^2 = a^2 + b^2
(2r)^2 = a^2 + 2r^2
2r^2 = a^2
a = √2 * r

a = b
Das Quadrat hat den größten Flächeninhalt.

Comments

Ein Rechteck hat weder Katheten noch Hypotenuse.

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Genauer : das Rechteck besteht aus 2 rechtwinkligen
Dreiecken mit der Hypotenuse 2r
und den Seiten ( Katheten ) a und b.
Hier war ich zu faul eine Skizze mit richtiger Beschriftung
einzustellen. 

Zur Erheiterung
Praktischer Tip für den Mathematiker
Was kann man machen falls man vor einer Flugreise Angst hat im Flugzeug könnte eine Bombe versteckt sein?
Man nimmt auch eine Bombe mit.
Die Wahrscheinlichkeit das in einem Flugzeug 2 Bomben sind ist nahezu null.

Answer 2

In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Zylinder mit maximaler Mantelfläche einbeschrieben werden.

Zylindermantel:  \(A(r,h)=2rπh\) soll maximal werden. Der Radius der Kugel R ist gegeben.

\(R^2=(\frac{h}{2})^2+r^2\)      Auflösung nach \(h\):

\( (\frac{h}{2})^2=R^2-r^2\)

\( h^2=4(R^2-r^2)\)

\( h=2\sqrt{R^2-r^2}\)  Die Höhe nun in \(A=2rπh\) einsetzen:

\(A(r)=4 r π\sqrt{R^2-r^2}\)

\( \frac{dA(r)}{dr} =4  π\sqrt{R^2-r^2}+4 r π\cdot \frac{(-2)r}{2\sqrt{R^2-r^2}}\)

\( \frac{dA(r)}{dr} =4  π\sqrt{R^2-r^2}- \frac{4r^2π}{\sqrt{R^2-r^2}}=0\)     Gekürzt mit \(4π\):

\( \sqrt{R^2-r^2}=\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}  | \cdot \sqrt{R^2-r^2}\)

\(R^2-r^2=r^2\)   Auflösen nach \(r\):

\(r^2=\frac{R^2}{2}\)      \( h=2\sqrt{R^2-\frac{R^2}{2}}=\frac{2R}{\sqrt{2}}=R\sqrt{2}\)

\(r=\frac{R}{\sqrt{2}}\)   

Maximaler Mantel:  \(A=2\frac{R}{\sqrt{2}}π \cdot R\sqrt{2}=2R^2π\)

Das ist nun auch die doppelte Grundfläche einer Halbkugel.