Vektoranalysis (Nablaoperator bzw div vom Vektor v) - Wieso Vektor in Kugelkoordinaten umschreiben?

Question

Aufgabe:

$\operatorname{div} \vec{v}$ für $\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{c}{y} \\ {-x} \\ {1}\end{array}\right)$

Problem/Ansatz:

Ich habe einfach drauflosgerechnet und stur die Partiellen Ableitung in jeder Vektorkomponente gemacht. 
Das war aber falsch. 

In der Lösung steht dass man $v_1,v_2,v_3$ in Kugelkoordinaten umschreibt und erst danach werden die Komponenten abgeleitet.


Frage:

(1) Wie komme ich zum Beispiel von $v_i$ in Kartesischen Koordinaten nach $v_i$ in Kugelkoordinaten ? 
(2) Wieso mache ich überhaupt Kugelkoordinaten und wieso darf ich nicht direkt die partiallen Ableitungen in $v_i$ in Kartesischen Koordinaten durchführen ?

Comments

Ich habe einfach drauflosgerechnet und stur die Partiellen Ableitung in jeder Vektorkomponente gemacht.
Das war aber falsch.

Warum soll das falsch sein? Du kannst das auch in kartesischen Koordinaten lösen. Oder hast du dich verrechnet?

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Ich neheme an, dass es falsch ist. 

Im Buch stehet nur die Lösung für in Kugelkoordinaten. :-/

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Dann würde ich r=1 setzen und umrechnen (siehe unten), Lösung oder Ergebnis?

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Wie lautet die exakte Aufgabe? Wenn in der Aufgabe nicht steht: Berechnen sie die Divergenz durch Übergang zu Kugelkoordinaten, dann kannst du es auch in kartesisch lösen.

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Ja es steht nicht dass man es mit Kugelkoordinaten machen muss.

Answer 1

in Kugelkoordinaten schreibt sich das Feld wie folgt:

$$\vec{v}=\frac{1}{r}\begin{pmatrix} rsin(\varphi)sin(\vartheta)\\-rcos(\varphi)sin(\vartheta)\\1 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} sin(\varphi)sin(\vartheta)\\-cos(\varphi)sin(\vartheta)\\\frac{1}{r} \end{pmatrix}\\ =-sin(\vartheta)\begin{pmatrix} -sin(\varphi)\\cos(\varphi)\\0 \end{pmatrix}+\frac{1}{r}\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\\ =-sin(\vartheta)e_{\varphi}+\frac{1}{r}(cos(\vartheta)e_r-sin(\vartheta)e_{\vartheta})\\$$

Die Divergenz in Kugelkoordinaten findest du hier :

https://de.wikipedia.org/wiki/Divergenz_eines_Vektorfeldes#Zylinder-…

Damit ergibt sich:

$$div (\vec{v})=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(rcos(\vartheta))+\frac{1}{rsin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial \vartheta}(\frac{-sin^2(\vartheta)}{r})+\frac{1}{rsin(\vartheta)}\frac{\partial}{\partial \varphi}sin(\vartheta)\\ =\frac{cos(\vartheta)}{r^2}-2\frac{cos(\vartheta)}{r^2}+0=-\frac{cos(\vartheta)}{r^2}$$

Das ist hier also doch etwas umständlich, da ein Teil von v in Richtung z-Achse zeigt. In kartesischen Koordinaten hätte man auch

$$\frac{d}{dx} (\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}})+\frac{d}{dy} (\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) +\frac{d}{dz} (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \\ =-\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^3}=-cos(\vartheta)/r^2$$

ermitteln können.

Answer 2

Kartesische koordinaten Kugel: X:=r (cos(b)cos(l),cos(b)sin(l),sin(b))

l,b sind die geografischen Winkelangaben

l=acos(sqrt(x²)/sqrt(x²+y²))

b=acos(sqrt(x²+y²)/r)

Kugelkoordinaten: X:=(r,l,b)

Comments

Vielen Dank ! 

was ist acos? Ist es arcuscosinus ? oder a * cos ? 

EDIT: Da Winkelangaben wird es arcuscosinus sein. 

Und weisst du, wieso es so ist, dass ich nicht direkt in Kartesischen Koordinaten partiell ableiten kann sondern hin und her switchen muss ?

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Yep - arccos.

Zum analytischen Teil kann ich nix sagen - da müßt ich erst wieder nachlesen was ein Nablaoperator ist und was er macht - wäre vielleicht keine schlechte Idee?