Grenzwert der Folge: an:= (8^-n)*((12n^-1)+(6n+1)/(n^3)+8)^n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie jeweils lim sup a_n und lim inf a_n (für n->unendlich), sowie die Menge aller Häufungswerte der Folge. Ist a_n auch konvergent? Begründen Sie ihre Antwort und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

a_n:= \( 8^{-n} \) * (\( 12n^{-1} \) + \( \frac{6n + 1}{n^3} \) + 8)^n

Problem/Ansatz:

Laut WolframAlpha konvergiert die Folge gegen e^1,5. Wenn ich selber aber versuche die n gegen unendlich gehen zu lassen komme ich auf den Grenzwert 1 raus.

Answer 1

es strebt nach null weil 8 hoch -n ist gleich wie 1/8hoch n.  und das ergebt 0 und 0 mal alles ist null

Comments

Aber:

8^(-n) * 8^n = 8^(-n+n) = 8^0 = 1.

Wie hast du das eingebaut?

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n strebt nach unendlich das heiß 1 geteiltdurch 8 hoch 10000000000 yum beispiel und das geht bis 0 bitte like geben

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@Sergans

Deine Antwort ist falsch.

Answer 2

Vereinfache doch mal den Term zunächst

8^(-n)·(12·n^(-1) + (6·n + 1)/n^3 + 8)^n

= (12/8·n^(-1) + (6·n + 1)/(8·n^3) + 1)^n

= (3/(2·n) + 3/(4·n^2) + 1/(8·n^3) + 1)^n

Jetzt könnte man zumindest schon den Grenzwert vermuten. Man müsste vermutlich nur noch zeigen das 3/(4·n^2) und 1/(8·n^3) hier keine Rolle spielen. Man kann jetzt aber auch mitteln e und ln den Exponenten trennen und dann den Grenzwert bestimmen.

Also dann zunächst Grenzwert von

n * LN(3/(2·n) + 3/(4·n^2) + 1/(8·n^3) + 1)

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