Regression mit einer Wurzel

Question

ich soll die Regressionsfunktion einer Wurzelfunktion bilden. Leider find ich dazu kein Beispiel oder Vorgehensweise :( 

Aufgabe:

Bestimme die Regressionsfunktion x = a+b* √w

Bestimme dabei a und b. Kann mit dieser Regression ein besseres Ergebnis erzielt werden?

Daten:

v| 2 | 8 | 10 | 40 | 12 | 20

u| 45 | 67 | 60 | 105 | 80 | 100

Könnt ihr mir einen Tipp geben wie man die Regressionsfunktion bildet und dann ihre Güte (r²) ausrechnet?

Comments

Deine Darstellung könnte etwas Überarbeitung vertragen.

Es gibt kein u, v in Deiner Funktion. Üblicherweise werden Funktionenn als y=f(x) beschrieben...

Answer 1

Hallo Großmeister,

die Methode der kleinsten Quadrate ist nicht auf Plynome mit ganzen Exponenten beschränkt. Stelle Dir die Matrix $A$ auf, sie besteht hier aus zwei Spalten für die Parameter $a$ und $b$. Die erste Spalte besteht aus lauter 1'en und die zweite aus den $\sqrt{v_i}$. Ich unterstelle mal, dass die $v_i$ die freien Parameter sind. Das geht aus Deiner Problembeschreibung nicht eindeutig hervor. Der Vektor $u$ ist der aus Deiner Aufgabenstellung.$$A \approx \begin{pmatrix}1& 1.4142\\ 1& 2.8284\\ 1& 3.1623\\ 1& 6.3246\\ 1& 3.4641\\ 1& 4.4721\end{pmatrix}, \quad u = \begin{pmatrix}45\\ 67\\ 60\\ 105\\ 80\\ 100\end{pmatrix}$$

Anschließend löst Du die Gleichung $$A^T\cdot A \cdot \alpha = A^T\cdot u$$nach $\alpha$. Wobei der Vektor $\alpha$ aus $a$ und $b$ besteht$$\alpha = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$meine Lösung ist $a=28,7$ und $b=13,16$.

Der Plot zeigt die Punkte und die Kurve

Plotlux öffnen

P(2|45)P(8|67)P(10|60)P(40|105)P(12|80)P(20|100)Zoom: x(-2…45) y(-10…120)f₁(x) = 28,7+13,16·√(x)

Gruß Werner

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(hier stand was falsches)

Answer 2

Du könntest die Daten vertauschen, eine quadratische Regression machen und davon die Umkehrfunktion bilden.

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Du könntest die Daten vertauschen, eine quadratische Regression machen ...

das ist nicht das gleiche!

Answer 3

Du kannst die Aufgabe hier

https://www.geogebra.org/m/ku9JMAPU

rechnen (siehe Lösung von Werner).

Die Funktion wäre $f(x) \, := \, a_1 \; \sqrt{x} + a_0$

X=v, Y=u vermutlich

und in Zeile (3) muss die Folge k,1,6 Punkte durchlaufen

damit dann

$R^2=\frac{Q\left(a_1, a_0 \right)}{\sum \left(\left(Y - mean \left(Y \right) \right)^{2} \right)}$