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Habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe und brauche mal Hilfe, wie ich das lösen kann .

Folgende Aufgabe:


Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD , wobei die Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn benannt sind.

Zeigen sie mit Hilfe des Skalarproduktes folgende Eigenschaft.

||AB||²+||BC||²+||DC||²+||AD||²=||AC||²+||BD||².

über allen Buchstabenpaaren ist ein Vektorpfeill, welcher nach rechts zeigt.


Vielen Dank für die Hilfe.

von

Das geht auch elementargeometisch:

Berechne |\( \vec{AC} \) | und | \vec{BD} |mit dem Kosinussatz und setze ein. Bedenke, dass β+γ=180° und |\( \vec{AB} \) | = |\( \vecCD} \) | sowie |\( \vec{BC} \) | = |\( \vecAD} \) | ..  

erstmal vielen dank für die hilfe nur muss ich das wie es in der aufgabe steht mit dem Skalarprodukt berechnen und leider nicht mit dem kosinussatz. Wie funktioniert das mit dem Skalarprodukt?

lg Samuel

Siehe Kommentar von Spacko.

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie mit Hilfe des Skalarproduktes folgende Eigenschaft

Stichworte: vektoren,skalarprodukt,eigenschaften

Aufgabe:

blob.png


Problem/Ansatz:

Ich habe im Moment keinen Ansatz, ich bitte um Hilfe :)

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Vielleicht so: ||AC||2+||BD||2=||AB+BC||2+||DC-AD||2
=||AB||2+2⟨AB,BC⟩+||BC||2+||DC||2-2⟨DC,AD⟩+||AD||2.

von 1,9 k

Könntest du das nochmal ein klein wenig ausführen?

Für zwei Vektoren x,y gilt ||x+y||2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=||x||2+2⟨x,y⟩+||y||2.

Vielen dank hat mir sehr geholfen :)

0 Daumen

\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

\(\vec{b}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}\)

\(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{DB}\)


\(||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{BD}||^2 \)

    \(= (\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2\)

    \(= \vec{a}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2\)
    \(=2\vec{a}^2+2\vec{b}^2\)

\(=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{BC}||^2+||\overrightarrow{DC}||^2+||\overrightarrow{AD}||^2\)


von 2,7 k
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\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

\(\vec{b}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}\)

\(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{DB}\)


\(||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{BD}||^2 \)

    \(= (\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2\)

    \(= \vec{a}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2\)
    \(=2\vec{a}^2+2\vec{b}^2\)

\(=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{BC}||^2+||\overrightarrow{DC}||^2+||\overrightarrow{AD}||^2\)


von 2,7 k

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