Grenzwert beweisen mit dritter Wurzel

Question

Man beweise:

a) $\lim\limits_{n\to\infty}$ $\sqrt[3]{n+\sqrt{n}}$ - $\sqrt[3]{n}$   = 0

b)  $\lim\limits_{n\to\infty}$ $\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}$ - $\sqrt[3]{n}$  = $\frac{1}{3}$

Answer 1

Hallo Yax,

versuche es mal so:$$\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{n + \sqrt n} - \sqrt[3]{n} \\ = &\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sqrt[3]{n + \sqrt n} - \sqrt[3]{n}\right)\left(\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}\right)}{\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}} \\ = &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt n}{\left(n + \sqrt n\right)^{2/3} + \left(n + \sqrt n\right)^{1/3}\cdot n^{1/3} + n^{2/3}}\\ \le &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt n}{ n^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n^{1/6}} = 0 \end{aligned}$$und b) nach dem gleichen Muster. Falls es nicht klappt, so melde Dich nochmal.

Comments

 

erst mal danke für die Antwort! Ich komme leider bei der b) nicht auf $\frac{1}{3}$

Bisher habe ich:

=  $\frac{\sqrt[3]{n^2}}{(n+\sqrt[3]{n^2})^\frac{2}{3}+\sqrt[3]{n+\sqrt[3]{n^2}}\sqrt[3]{n}+n^\frac{2}{3}}$

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Bisher habe ich: ...

Du bist auf dem richtigen Weg. Fasse das Produkt des mittleren Summanden im Nenner unter der Wurzel zusammen und kürze anschließend durch den Zähler. Bedenke dass$$\frac{ (n + \sqrt[3]{n^2})^{\frac 23} }{n^{\frac 23}} = \left( \frac{n +\sqrt[3]{n^2} }{n} \right)^{\frac 23}$$anschließend fällt mit $n \to \infty$ alles raus, was wie $\frac 1{n^{1/3}}$ aussieht

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Wie kommt man auf den Lösungsweg?

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Wie kommt man auf den Lösungsweg?

Der Klassiker ist doch der Grenzwert für $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+\sqrt n} - \sqrt n$. Den berechnet man erfahrungsgemäss durch Erweitern mit $\sqrt{n+\sqrt n} + \sqrt n$ mit dem Ziel, dass im Zähler das $\sqrt n$ stehen bleibt.

Hier ist die Frage: mit was muss man erweitern, damit genauso im Zähler $n + \sqrt n - n$ stehen bleibt. Da substituiert man in Gedanken $$(n + \sqrt n)^{\frac 13} = a, \quad n ^{\frac 13} = b$$und da ich weiß, dass $\left(a^k-b^k\right)$ immer den Teiler $(a-b)$ enthält, fragt man Wolfram alpha noch nach $(a^3-b^3) \div (a-b) =\, ?$ dann brauch ich selber nicht mal mehr rechnen.

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Danke, aber auf diesen Gedanken muss man erstmal kommen.

Ich bin kein Mathe-Profi im Gegensatz zu dir. Chapeau! :)