0 Daumen
3,4k Aufrufe

Aufgabe:

Es sei (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} die durch a0=1,an+1=2+an a_{0}=1, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}  rekursiv definierte Folge.

(a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine monotone und beschränkte Folge ist.

(b) Existiert der Grenzwert von (an)nN? \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} ? Berechnen Sie diesen gegebenenfalls.
Hinweis: Sie können ohne Begründung verwenden, dass die Wurzelfunktion stetig und monoton wachsend ist.


Ansatz:

Also nach unten hin ist sie beschränkt zur 0, da Wurzel,  und für oben muss a(n+1)=a(n), und wenn ich das richtig ausgerechnet habe, ist sie nach oben hin zur 2 bescrhänkt.Wie gehe ich nun weiter vor? Vielen Dank.

Avatar von
Wie gehe ich nun weiter vor?

Ob krank gewesen oder nicht: Die vollständige Induktion sollte sein Monaten oder mindestens seit Wochen bekannt sein. Wenn da steht "Beweisen Sie mit vollständiger Induktion... ", dann würde ich mal versuchen es mit vollständiger Induktion anzugehen.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Wir zeigen zunächst durch Induktion, dass (an)(a_n) streng monoton wächst:

Verankerung bei n=1n=1:an+1=a2=2+a1=2+1=3>1=ana_{n+1}=a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{2+1}=\sqrt3>1=a_n\quad\checkmarkInduktionsschritt nn+1n\to n+1:an+2an+1=2+an+1an+1>2+anan+1=an+1an+1=0a_{n+2}-a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n+1}}-a_{n+1}>\sqrt{2+a_n}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n+1}=0an+2>an+1\Rightarrow\quad a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark

Nun zeigen wir durch Induktion, dass an<2a_n<2 für alle nNn\in\mathbb{N} gilt:

Verankerung bei n=1n=1:a1=1<2a_1=1<2\quad\checkmarkInduktionsschritt nn+1n\to n+1:an+1=2+an<2+2=4=2a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=\sqrt4=2\quad\checkmark

Eine streng monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert. Der Grenzwert aa ist:

an+1=2+ana_{n+1}=\sqrt{2+a_n}limnan+1=limn2+an\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+a_n}limnan+1=2+limnan\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\sqrt{2+\lim\limits_{n\to\infty}a_n}a=2+aa=\sqrt{2+a}a2=2+aa^2=2+aa2a2=0a^2-a-2=0(a2)(a+1)=0(a-2)(a+1)=0Da (an)>0(a_n)>0 fällt die negative Lösung weg und wir erhalten als Grenzwert:a=2a=2

Avatar von 153 k 🚀

Erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort.

Induktionsschritt n→n+1:
a(n+2)−a(n+1)=2+a(n+1) \sqrt{2+a(n+1)} - a(n+1)>2+a(n) \sqrt{2+a(n)} −a(n+1)=a(n+1)−(an+1)=0
⇒a(n+2)>(an+1)✓

Das hier verstehe ich noch nicht ganz, also im IA zeigen wir dass a(n+1)>=a(n) ist für Monotonie, dann muss das natürlich auch für n+1 gelten, also a(n+2)>=a(n+1)

Ich verstehe jetzt nur nicht was du hier gemacht hast a(n+2)−a(n+1)>a(n+1)−(an+1)

denn x-x ist ja sowieso gleich 0, könntest du mir das nochmal erklären? Danke

Ok ich habe es alleine verstanden danke für deine Hilfe!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage