Aloha :)
Wir zeigen zunächst durch Induktion, dass (an) streng monoton wächst:
Verankerung bei n=1:an+1=a2=2+a1=2+1=3>1=an✓Induktionsschritt n→n+1:an+2−an+1=2+an+1−an+1>2+an−an+1=an+1−an+1=0⇒an+2>an+1✓
Nun zeigen wir durch Induktion, dass an<2 für alle n∈N gilt:
Verankerung bei n=1:a1=1<2✓Induktionsschritt n→n+1:an+1=2+an<2+2=4=2✓
Eine streng monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert. Der Grenzwert a ist:
an+1=2+ann→∞liman+1=n→∞lim2+ann→∞liman+1=2+n→∞limana=2+aa2=2+aa2−a−2=0(a−2)(a+1)=0Da (an)>0 fällt die negative Lösung weg und wir erhalten als Grenzwert:a=2