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Hätte mal eine Frage wie ich folgende aufgabe zu lösen habe.

Die Einheitsvektoren u, v und w erfüllen die Bedingung
u + v + w = 0.
Bestimmen Sie <u, v> + <v, w> + <w, u>

Für paar tipps sowie ansätze wäre ich dankbar.

von

Morgen ist Abgabe der HA in Lineare Algebra in der Uni Kassel.. Zufall? Ich glaube nicht

3 Antworten

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Beste Antwort

du kannst es auch stumpf ausrechnen, quadriere die Gleichung:

$$(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+uw+vw)=0$$

Da es Einheitsvektoren sind folgt u^2=v^2=w^2=1.

$$3+2(uv+uw+vw)=0$$

und damit

$$(uv+uw+vw)=-1.5$$

von 34 k

Top vielen dank für die Hilfe hat mir sehr geholfen.

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Aloha :)

Es handelt sich um einen geschlossenen Vektorzug aus 3 Vektoren, also um ein Dreieck. Die Vektoren sind Einheitsvektoren mit Länge 1, also haben wir ein gleichseitiges Dreieck. Die 3 Skalarprodukte sind jeweils gleich dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels, also gleich dem Cosinus von \(120^o\), also gleich \(-0,5\). [Die Vektoren gehen nicht vom gleichen Startpunkt aus, sondern der eine wird an den anderen gehangen, daher 120 statt 60 Grad.] Daher ist:$$\left<u,v\right>+\left<v,w\right>+\left<w,u\right>=-1,5$$

Die pathologischen Fälle (zwei gleiche Vektoren, zwei entgegengesetzt gleiche Vektoren, ...) können nicht auftreten, weil in diesen Fällen die Vektorsumme nicht der Nullvektor ist.

von 19 k

Der Winkel zwischen je zwei Vektoren ist 120°, daher der Vorzeichenfehler.

Ja klar, weil die Vektoren nicht vom gleichen Startpunkt ausgehen...

Ich Schussel!!!

Danke für den Hinweis ;)

So ein "patholoischer Fall" (ohne g) kommt halt mal vor. ;-)

So, habe es korrigiert, damit nachfolgende Generationen sich nicht wundern und ich am Ende noch doof dastehe ;)))

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0=⟨0,0⟩=⟨u+v+w,u+v+w⟩
 =||u||2+||v||2+||w||2+2·(⟨u,v⟩+⟨u,w⟩+⟨v,w⟩)
⇒⟨u,v⟩+⟨u,w⟩+⟨v,w⟩=-3/2.

von 1,9 k

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