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Sei

$$a_{1}:=\sqrt{2}$$


$$a_{2}:=\sqrt{2+\sqrt{2}}$$


$$a_{n+1}:=\sqrt{2+a_{n}}$$


sei A:= {a1,a2,....an,..}. Zeige A⊆[0,2] Anleitung: an < 2 ⇒ an+2 <2

[Anm: a2 kann man so { a }_{ 2 }\quad :=\quad \sqrt { 2+\sqrt { 2 }  } \\   im Formeleditor eingeben]

von

2 Antworten

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Man könnte meinen es gibt ein an, welches sich nicht mehr verändert wenn man an+1 ausrechnet. Dann dürfte ich schreiben:

an = √(2 + an)

Löse ich das nach an auf erhalte ich

an2 = 2 + an
an2 - an - 2 = 0
an = 2 oder an = -1

Damit müssten -1 oder 2 potentielle Grenzwerte sein.

an+1 = √(2 + an)

Wenn an 2 wäre steht rechts die Wurzel aus 4 und ist damit 2. Wenn an kleiner als 2 ist steht dort etwas kleineres als 4 und die Wurzel davon ist kleiner als 2.

Damit kann der Term nicht über 2 anwachsen. 2 ist eine obere Schranke die nicht erreicht wird.

von 355 k 🚀
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Hier ist zu zeigen, dass alle Folgenglieder im Bereich 0≤ an ≤2 liegen.

Da allen durch Wurzelziehen und addieren nie eine negative Zahl erreicht werden kann, sind alle Folgenglieder grösser als 0. Deshalb ist 0 als untere Schranke ok.

Zur 2 als oberer Schranke wird eine Induktion in 2er Schritten vorgeschlagen.

Verankerung mit a1 und a2

a1 = 1.414 < 2

a2 = 1.84777

Induktionsschritt n → n+2

 

von 160 k 🚀

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