Hilfe bei relativen Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen: f(x,y)= X^3-2X^2 y^2+y^4+10

Question

ich bin jetzt schon was länger an einer Aufgabe dran und komme leider auf kein Ergebnis.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

 

f(x,y)= X³-2X²y²+y⁴+10

 

Bestimmen Sie die Punkte mit den xy-Koordinaten in denen f(x,y,) einen relativen Extremwert annimmt bzw. einen Sattelpunkt. Geben Sie gegebenenfalls an, ob es sich bei den Extremwerten um ein relatives Minimum oder um ein relatives Maximum handelt. Begründen Sie Ihre Antwort!

 

Kann mir da einer weiter helfen ?

 

Lg

Patrick

Answer 1

Hi Patrick,

Bestimme die Ableitungen die wir brauchen.

f_x = 3x²-4xy²

f_y = -4x²y+4y³

f_xx = 6x-4y²

f_yy = -x²+12y²

f_xy = -8xy

 

Bestimmen von grad f = (0,0)

f_x = 0

f_y = 0

Das ist der Fall für

x = 0, y = 0

x = 3/4, y = -3/4

x = 3/4, y = 3/4

 

Damit nun in die Hessematrix:

$$\begin{pmatrix}6x-4y^2 & -8xy\\-8xy & -4x^2+12y^2\end{pmatrix}$$

 

Davon die Determinante bestimmen, wobei die x und y-Werte von oben eingesetzt werden.

D_0,0 = 0            -> Wird wohl ein Max sein (wegen den Minima unten)

D_3/4,-3/4 = 9/8       ∧ w_xx > 0  -> Min

D_3/4,3/4 = 153/8   ∧ w_xx > 0  -> Min

 

Du solltest das noch kontrollieren. Prinzip sollte aber klar sein ;).

Grüße