Seien Zn : ={[0]n,…,[n−1]n} die n verschiedenen Äquivalenzklassen von Z bezüglich ≡(mod n).
Auf dieser Menge ist ohne Beweis angenommen, dass durch [a]n⋅[b]n : =[a⋅b]n eine wohldefinierte Operation gegeben ist. Sei Zn∗={[x]n∣ggt(x,n)=1} die Menge der Klassen, deren Repräsentanten zu n teilerfremd sind. Es wird wieder ohne Beweis als gegeben angenommen, dass (Zn∗,⋅) wohldefiniert ist und eine Algebra (Gruppe?) darstellt.
Zu lösen:
1) Ist die Menge {[2]7,[3]7} ein Erzeugendensystem von Z7∗?
2) Geben Sie mit Begründung ein Erzeugendensystem von Z7∗ an, das nur ein Element enthält (aus einer Klasse besteht).
Vorversion:
Zn = {0 ̅, 1 ̅, . . . , (n - 1) ̅} ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ≡n. Durch
(a*b) ̅ = a ̅ • b ̅ ist eine zweistellige Operationen auf Zn definiert. Sei Z∗ n := {x ̅ ∈ Zn|ggT(x, n) =
1} (ggT(a,b) bezeichne den größten gemeinsamen Teiler von a und b). Gemäß der Vorlesung
definiert (Z∗ n, •) eine Algebra.
• Entscheide begründet, ob {[2]∼ 7, [3]∼ 7} ein Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) ist.
• Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) an.