Erzeugendensystem aus nur einem Element?

Question

Seien \(\mathbb{Z}_n := \{[0]_n,\ldots,[n-1]_n\}\) die n verschiedenen Äquivalenzklassen von \(\mathbb{Z}\) bezüglich \(\equiv \text{(mod n)}\).

Auf dieser Menge ist ohne Beweis angenommen, dass durch \([a]_n\cdot [b]_n := [a\cdot b]_n\) eine wohldefinierte Operation gegeben ist. Sei \(\mathbb{Z}^{\ast}_n = \{[x]_n | \text{ggt}(x,n)=1\}\) die Menge der Klassen, deren Repräsentanten zu n teilerfremd sind. Es wird wieder ohne Beweis als gegeben angenommen, dass \((\mathbb{Z}^\ast_n,\cdot)\) wohldefiniert ist und eine Algebra (Gruppe?) darstellt.

Zu lösen:
1) Ist die Menge \(\{[2]_7,[3]_7\}\) ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\)?
2) Geben Sie mit Begründung ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\) an, das nur ein Element enthält (aus einer Klasse besteht).

Vorversion:

Zn = {0 ̅, 1 ̅, . . . , (n - 1) ̅} ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ≡n. Durch
(a*b) ̅ = a ̅ • b ̅ ist eine zweistellige Operationen auf Zn definiert. Sei Z∗ n := {x ̅ ∈ Zn|ggT(x, n) =
1} (ggT(a,b) bezeichne den größten gemeinsamen Teiler von a und b). Gemäß der Vorlesung
definiert (Z∗ n, •) eine Algebra.
• Entscheide begründet, ob {[2]∼ 7, [3]∼ 7} ein Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) ist.
• Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) an.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Äquilvalenzklassen: Bsp. Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗7·) an.

Stichworte: äquivalenzklassen,modulo,ggt

Aufgabe:

Zn = {0, 1, . . . , n − 1} ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ≡n. Durch a·b = a · b

 Sei Z∗n:= {x ∈ Zn|ggT(x, n) =1} (ggT(a,b) bezeichne den größten gemeinsamen Teiler von a und b

• Entscheide begründet, ob {[2]∼7 , [3]∼7} ein Erzeugendensystem von (Z∗7, ·) ist.
• Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗7·) an.

---

Hallo

 dein Text ist für mich nicht wirklich interpretierbar.

was soll a·b = a · b bedeuten?

was ist Z _*n soll das die Relation sein?

lul

---

Nutze den Tipp hier, https://www.mathelounge.de/668998/sei-c-r-0-1-definiere-induktiv-a-1-c-und-a-n-1-1-1-a-n?show=669053#c669053 um deine Fragestellung lesbar darzustellen.

Ich habe schon eine Vermutung, wie das zu lesen ist. Aber es geht um deine Aufgabe nicht um eine erfundene.

---

Soll die Darstellung (nicht die Aufgabe) etwa so aussehen wie hier https://www.mathelounge.de/673568/aquivalenzklassen-berechnen-mit-invers ?

---

ich glaube die Lösung  sieht so aus ,aber ich weiß nicht womit soll ich anfangen sie  zu lösen

---

ich habe echt keine Ahnung ,morgen muss ich sogar diese Aufgabe abgeben

---

Kannst du mal die Fragestellung als Kommentar nochmals besser eingeben?

Das ist so, wie es jetzt aussieht leider nicht lesbar.

---

 Zn = {0 ̅, 1 ̅, . . . , (n - 1) ̅} ist die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ≡n. Durch
(a*b) ̅ = a ̅ • b ̅ ist eine zweistellige Operationen auf Zn definiert. Sei Z∗ n := {x ̅ ∈ Zn|ggT(x, n) =
1} (ggT(a,b) bezeichne den größten gemeinsamen Teiler von a und b). Gemäß der Vorlesung
definiert (Z∗ n, •) eine Algebra.
• Entscheide begründet, ob {[2]∼ 7, [3]∼ 7} ein Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) ist.
• Gib begründet ein einelementiges Erzeugendensystem von (Z∗ 7, •) an

---

Vielleicht hat lul jetzt eine Idee? Ich habe ileider mmer noch Schwierigkeiten, das zu lesen.

---

auch ich kann das weiterhin nicht lesen.

lul

---

tut mir leid aber das ist ja genau wie die aufgabe dargestellt ist

---

Ich habe mir mal die Mühe gemacht, die Frage besser lesbarer (in Standardnotation) hinzuschreiben:

Seien \(\mathbb{Z}_n := \{[0]_n,\ldots,[n-1]_n\}\) die n verschiedenen Äquivalenzklassen von \(\mathbb{Z}\) bezüglich \(\equiv \text{(mod n)}\).

Auf dieser Menge ist ohne Beweis angenommen, dass durch \([a]_n\cdot [b]_n := [a\cdot b]_n\) eine wohldefinierte Operation gegeben ist. Sei \(\mathbb{Z}^{\ast}_n = \{[x]_n | \text{ggt}(x,n)=1\}\) die Menge der Klassen, deren Repräsentanten zu n teilerfremd sind. Es wird wieder ohne Beweis als gegeben angenommen, dass \((\mathbb{Z}^\ast_n,\cdot)\) wohldefiniert ist und eine Algebra (Gruppe?) darstellt.

Zu lösen:

1) Ist die Menge \(\{[2]_7,[3]_7\}\) ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\)?

2) Geben Sie mit Begründung ein Erzeugendensystem von \(\mathbb{Z}^\ast_7\) an, das nur ein Element enthält (aus einer Klasse besteht).

---

In Zukunft bitte die Aufgaben TeXen, das sollte auf einem Matheforum wirklich selbstverständlich sein.

---

Danke sehr für Ihre Hilfe

---

Hallo

 1) da musst du doch nur 2^k k =1 bis 5 ausrechnen? ebenso 3^k und sehen ob du alle Elemente bzw. Repräsentanten 1,2,3,4,5,6  bekommst? mit 2^3=1 mod 7 weisst du schon ,dass es kein Erzeugenden Element ist.

2)entsprechend

Gruß lul

Answer 1

Was bedeutet Erzeugendensystem? Es bedeutet, dass du jede Klasse \([x]_7\) als Produkt schreiben kannst der Klassen \([2]_7\) und \([3]_7\). So zum Beispiel: \([6]_7 = [2]_7\cdot [3]_7\) oder \([5]_7 = [12]_7 = [2]_7\cdot [2]_7 \cdot [3]_7\). Du sollst in der 1) also einfach nur entweder argumentieren, wieso das nicht immer gehe, oder aber im Falle dass die Aussage stimmt, alle Äquivalenzklassen so darstellen.

In der 2) Sollst du dich einfach mal fragen, was es bedeutet, dass ein einzelnes Element ganz \(\mathbb{Z}^\ast_7\) erzeugt. Heißt, dass du dir eine bestimmte Zahl nimmst, die mod 7 immer wieder auf sich selbst multiplizierst und dann einfach schaust, ob du tatsächlich alle Äquivalenzklassen durch dieses Verfahren findest. Dann mal ran an die Arbeit!