Hallo Peter,
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Funktionenschar gleich null setzen soll ..
wenn Du die Nullstellen bestimmen willst, solltest Du genau das tun. Es ist$$\begin{aligned}f_c(x) &= -x^3+x^2+cx \\ \quad &= -x(x^2 - x - c) = 0\\ \implies x_1 &= 0\\ x_{2,3} &= \frac 12 \pm \sqrt{\frac 14 + c} \end{aligned}$$Eine Nullstelle \(x_1=0\) ist unabhängig von \(c\). Die anderen beiden Nullstellen existieren nur dann, wenn \(c \gt -1/4\) ist; und wenn \(c=-1/4\) ist, dann werden aus den beiden eine doppelte Nullstelle. Folglich ist die Anzahl \(n0\) der Nullstellen $$n0 = \begin{cases} 1 & c \lt -\frac 14 \\ 2 & c= -\frac 14\\ 3 & c \gt -\frac 14\end{cases}$$
... oder ob ich einfach sagen soll: bei c>0 besitzt der Graph 3 Nullstellen
ist nicht richtig (s.o.)
Für die Anzahl der Extremstellen leite die Funktion ab und setze das Ergebnis =0. Es ist$$\begin{aligned} f_c'(x) &= -3x^2 + 2x +c \to 0 \\ \implies x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (-3) \cdot c}}{2 \cdot (-3)} = \frac 13 \left( 1 \mp \sqrt{1 + 3c}\right)\end{aligned}$$ .. überlege mal selber wann keine, eine oder zwei Extremstellen existieren. Wobei der Fall 'eine' noch gesondert zu behandeln ist - warum?
Anbei der Plot für \(c=-1/4\) (blau) und \(c=-1/3\) (rot):
~plot~ -x^3+x^2+x*(-1/4);-x^3+x^2+x*(-1/3);[[-1.5|2|-1.1|1.8]] ~plot~
Gruß Werner
