Zeige, dass ℂ einen Automorphismus hat, der sich von der Identität unterscheidet.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass ℂ einen Automorphismus hat, der sich von der Identität unterscheidet.

Problem/Ansatz:

Ich wäre auf z↦z‾‾ gekommen, muss jetzt aber zeigen dass dies ein Automorphismus ist, weiss jedoch nicht genau wie ich dies tun sollte...ich bin mir auch nicht sicher ob dies ein Automorphismus ist.

Dieser sollte dann wegen i↦−i nicht die Identität sein aus meiner Sicht.

Answer 1

Na ist doch prima. Du musst nur zeigen:

(falls C als R-Vektorraum gemeint ist )

z --->  z_querIst ein Homomorphismus, das sind doch die

gängigen Eigenschaften des komplementär Komplexen

(z1+z2)_quer = z1_quer + z2_quer  und entsprechend für

reelle Zahl * z , also   (x* z)_quer   = x* z_quer ist ja klar,

da x_quer = x für reelle.

Jetzt noch Injektiv und surjektiv und alles ist fertig.

Comments

Okay danke vielmals. Wie macht man das bei diesem Beispiel mit injektiv und surjektiv nochmals? Ich habe irgendwie gerade total den Hänger...

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Injektiv: Seien z1=a+bi und z2=c+di aus C mit

z1_quer = z2_quer

==>  a-bi = c-di

==> a=c und b=d

==>  z1 = z2

surjektiv:   Sei z aus C

Gesucht ist ein .u aus C mit u_quer = z

OK, wähle  u= z_quer

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Okay vielen Dank!