Aloha :)
Zu zeigen: \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\, \vec x\mapsto A\vec x\) ist injektiv \(\;\;\Leftrightarrow\;\;\) Kern\((A)=\{\vec 0_n\}\)
Hinrichtung "\(\Rightarrow\)"
Wegen \(A\cdot\vec 0_n=\vec 0_m\) wird \(\vec 0_n\in\mathbb{R}^n\) auf \(\vec 0_m\in\mathbb{R}^m\) abgebildet. Daher ist \(\vec 0_n\in\text{Kern}(A)\). Da \(f\) nach Voraussetzung injektiv ist, wird auf jedes Element der Wertemenge höchstens ein Element der Definitionsmenge abgebildet. Es gibt daher kein weiteres Element aus \(\mathbb{R}^n\), das auf \(\vec 0_m\) abbildet. Das heißt \(\text{Kern(A)}=\{\vec 0_n\}\).
Rückrichtung "\(\Leftarrow\)"
Wir nehmen an, es gibt 2 Elemente \(\vec x_1,\vec x_2\in\mathbb{R}^n\), die denselben Funktionswert haben, dann gilt:$$f(\vec x_1)=f(\vec x_2)\;\;\Rightarrow\;\;A\vec x_1=A\vec x_2\;\;\Rightarrow\;\;A(\vec x_1-\vec x_2)=\vec 0_m$$Da nach Voraussetzung Kern\((A)=\{\vec 0_n\}\) ist, muss \(\vec x_1-\vec x_2=\vec 0_n\) bzw. \(\vec x_1=\vec x_2\) gelten. Das heißt, es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus \(\mathbb{R}^n\), die dasselbe Bild haben. \(f\) ist also injektiv.
