Für was steht das Ergebnis beim Limes

Question

Bei Sachen wenns um den Limes geht, besonders bei der Differetialrechnung, stören mich oft die anscheinend 2 verschiedenen Ansichten. Ich möchte wissen welche denn korrekt ist:

1. Das Ergebnis vom Limes (beispielsweise lim x→0 bei x^x) beschreibt den Wert, den die Gleichung annimmt wenn die Werte sehr sehr klein sind, wichtig ist das der Wert nie Null wird. Auch mein Lehrer befürwortet diese Ansicht

2.(Das was ich glaube) Das Ergebnis vom Limes selbst beschreibt den Wert wenn x tatsächlich 0 erreicht. Die Limesbetrachtung dient dazu nachzugucken was für diesen meist undefinierten Wert herauskommen würde

Mein Problem mit Ansicht 1 ist, das egal wie klein die Werte sind, sie werden nie den Wert des Ergebnisses annehmen.

Ich weiß ich kann meine Probleme meist schlecht erläutern aber ich bitte darum auf mögliche Kommentare einzugehen. Danke

Comments

vgl:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Null_hoch_Null

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Die Einführung sollte weiterhelfen:

Und hier lesen: https://www.matheretter.de/wiki/grenzwert

Answer 1

Deine Ansicht ist falsch. 0⁰ ist nicht definiert, also gibt es den Wert von x^x an der Stelle 0 gar nicht.

Weitere Gegenbeispiele:

\( \frac{2x}{x} \) , \( \frac{x²}{x} \) , \( \frac{x}{x³} \) hätten an der Stelle x=0 alle den gleichen "Wert" "\( \frac{0}{0} \)", obwohl die Grenzwerte 2; 0 bzw. nicht existent (weil gegen unendlich gehend) sind.

Comments

Schon klar das es den Wert nicht gibt deshalb ja auch der Limes um zu schauen was für den Wert rauskommen würde. Wenn man 2+x betrachtet und denn grenzwert für x gegen 0 bildet kommt 2 heraus. Aber 2 ist das Ergebnis wenn man für x 0 einsetzen würde, wenn man nur kleine Zahlen einsetzt wird nie 2 rauskommen. Die kleinen Werte sind ja nur dazu da um zu schauen wo der Wert von 0 sein könnte

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Darf ich dich erinnern, dass du vorhin geschrieben hast:

Das Ergebnis vom Limes selbst beschreibt den Wert wenn x tatsächlich 0 erreicht.

Ich habe dir an Gegenbeispielen nachgewiesen, dass diese Aussage so (nicht in jedem Fall) nicht stimmt. (Damit ist deine Aussage falsch.)

Dass der Grenzwert einer Funktion bei Annäherung an eine Stelle MANCHMAL mit dem Funktionswert an dieser Stelle übereinstimmt, steht auf einem ganz anderen Batt. Dazu muss die Funktion an der betrachteten Stelle nämlich unbedingt STETIG sein.

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Ich glaube wir meinen dasselbe nur das du strenger definierst und genauer bist. Du sagst wenn ich richtig interpretiere das der Grenzwert jener Wert ist dem sich die Funktion in der Umgebung annähert, und ich hab vereinfacht und gedacht in diesem Sinne liegt es oft nahe den Punkt selbst einfach den Grenzwert als Wert zu geben.

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Aber das geht halt nicht immer....

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Ich bins nochmal :)

Fällt mir nur so eben ein : Betrachtung Nummer 1 ist dann laut dir auch falsch oder? Der Grenzwert stellt ja nicht den Wert von kleinen Zahlen dar sondern nur jenen Wert dem sie sich annähern.

Answer 2

Der beidseitige Limes ist nicht immer definiert:

So ist zum Beispiel \(\lim_{x\to 0} \frac{x+4711}{x}\) nicht definiert, weil der rechtsseitige Limes \(\lim_{x\to 0^+} \frac{x+4711}{x}\to \infty\) ungleich dem linksseitigen Limes \(\lim_{x\to 0^-} \frac{x+4711}{x}\to -\infty\) ist. Also $$ \left(\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x+4711}{x}\to \infty\right) \neq \left(\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{x+4711}{x}\to -\infty\right).$$

In Worten:
Wenn wir uns von links an die Null nähern, wandert die Funktion gegen negativ Unendlich, wenn wir das aber von rechts tun, dann wandern wir nach positiv Unendlich.

Beispiel anhand einer Grafik:

~plot~ (x+1)/x ~plot~

Hier am Graphen für \(f(x)=\frac{x+1}{x}\) siehst du deutlich, wie die Funktion kurz vor Null von links gegen \(-\infty\) und für die positive Annäherung an die Null gegen \(\infty\) geht.

Answer 3

@denno: Hast du den Link von Gast2016 studiert?

Beachte, dass der Exponent beim 3. Beispiel von Abakus unten 3 ist. Das sieht man kaum ist aber in der Argumentation entscheidend (Vorzeichen links und rechts von x=0).

Comments

Jo.. laut Wikipedia macht es doch je nach Problem Sinn den Wert für 0/0 anzunehmen oder nicht?

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Im Link von Gast2016 steht explizit und bloss, dass 0/0 , 0^0 usw. unbestimmte Ausdrücke sind und keinesfalls, dass du die beiden einfach gleichwertig verwenden sollst.

Screnshot von entsprechender Stelle:

Text erkannt:

er dem Zeichen des Grenzwertes steht, unbestimmter eispiel \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \) usw. Der unbestimmte Ausdruck \( 0^{0} \) entst enzwerte der Potenzen, deren Basen und ExponentenB

BildBildlegende: erwähnt Umgebung von (0;0) . Das ist schlicht ein Element des Definitionsbereichs und hat auch absolut nichts 0/0 zu tun. 

 

Text erkannt:

\( \mathbf{z}=\mathbf{x}^{y} \) für die Umgebung von \( (0 ; 0) . \) Die Fläche entartet in eine senkrechte Gerade bei \( (0 ; 0) . \) Die verschiedenfarbigen Kurven veranschaulichen die verschiedenen Grenzwerte für \( 0^{\circ}, \) je nach gewählter Funktion.