Zinsen Erbe Verzinsung Rückrechnen

Question

Man weiß, dass zwei Brüder Karl und Anton, die vor 8 Jahren gemeinsam 119049 GE geerbt haben, jetzt zusammen 168352 GE besitzen. Karl hat sein Geld von Beginn an mit 3.25% bei jährlicher Verzinsung und Anton seinen Anteil mit 5.5% bei vierteljährlicher Verzinsung angelegt.
Wieviel hatte Karl geerbt?

Answer 1

Um im Folgenden nicht immer wieder diese langen Zahlen schreiben zu müssen, kürze ich wie folgt ab:

E : Gesamtbetrag des Erbes = 119049 GE

V : Verzinster Gesamtbetrag nach 8 Jahren = 168352 GE

 

Sei nun K der Betrag, den Karl geerbt hat und A der Betrag, den Anton geerbt hat.

Dann muss gelten:

A + K = E

Karls Erbe wird jährlich mit 3,25 % p.a. verzinst, wächst also in 8 Jahren auf

K * 1,0325 ⁸

Antons Erbe wird vierteljährlich mit 5,5 % p.a. verzinst.
Es gibt also in 8 Jahren 32 Zinstermine, zu denen jeweils 5,5 % / 4 = 1,375 % Zinsen gezahlt werden, sodass also Antons Erbe in den 8 Jahren auf

A * 1,01375 ³²

anwächst.

Insgesamt gilt also für das verzinste Erbe nach 8 Jahren:

K * 1,0325 ⁸ + A * 1,01375 ³² = V

Das Gleichungssystem aus den beiden fett gesetzten Gleichungen ist also zu lösen:

Erste Gleichung:

A + K = E

<=> K = E - A

Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt:  

( E - A ) * 1,0325 ⁸ + A * 1,01375 ³² = V

<=> A * ( 1,01375 ³² - 1,0325 ⁸ ) = V - E * 1,0325 ⁸

<=> A = ( V - E * 1,0325 ⁸ ) / ( 1,01375 ³² - 1,0325 ⁸ )

<=> A = ( 168352 - 119049 * 1,0325 ⁸ ) / ( 1,01375 ³² - 1,0325 ⁸ )

<=> A = 56888,85 GE

und daraus ergibt sich mit der umgeformten ersten Gleichung:

K = E - A = 119049 - 56888,85

<=> K = 62160,15 GE