Sei (G, ∗) eine Gruppe, welche Gruppeneigenschaften?

Question

Wie löse ich folgende Aufgaben? Ich habe leider gar kein Plan wie das gehen soll

Sei (G, ∗) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten
und geben Sie in jedem Schritt an, welche Gruppeneigenschaften Sie verwenden:
(a) (g ∗ h)^−1 = h^−1 ∗ g^−1 für alle g, h ∈ G.
(b) e^−1 = e.
(c) (g^−1)^−1 = g für alle g ∈ G.

Answer 1

(g ∗ h)^−1 = h^−1 ∗ g^−1

Nach Def. des Inversen gilt:

(g ∗ h)^−1  ist das Element, dass (von links und von rechts mit g*h

multipliziert e ergibt. Also so

(g*h) * ( h^(-1)*g^(-1))  assoziativ !

= g*  ( h * ( h^(-1)  )   *g^(-1)

= g*  e   *g^(-1)

= g   *g^(-1)

= e

von der anderen Seite entsprechend.

Comments

ist das die aufgabe nur für a? oder jeweils alle 3

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ausgeführt ist die erste Hälfte von a).

Die Methode geht auch für die anderen.

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okay verstehe. ich weiß jedoch um ehrlich zu sein nicht wie ich das auf die anderen Aufgaben anwenden soll..

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Für den 2. Teil von a) zeige:

(h^-1 * g^-1)*(g*h)=e

Für b) formuliere in Worten: Das Inverse von e ist e.

Also zu zeigen: e ergibt sowohl von rechts als auch von links mit e multipliziert wieder e.