Überprüfung auf absolute Konvergenz: Reihe zu (n2 + 2)/(2(n2)! +3)

Question

Aufgabe:

Ist die Reihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2\left(n^{2}\right) !+3} \quad$ absolut konvergent?

Kennt jemand "absolute" Konvergenz? Wo liegt der Unterschied?

Comments

Absolute Konvergenz, heisst, dass von jedem Summanden der Absolutbetrag genommen wird.

Da hier gar keine negativen Summanden vorkommen, musst du einfach beurteilen, ob die gegebene Reihe konvergiert.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz

Eine Reihe $\sum a_n$ ist absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge $\sum |a_n|$ konvergiert. Eine Reihe ist bedingt konvergent, wenn die Reihe $\sum a_n$ konvergiert, aber die Reihe $\sum |a_n|$ nicht konvergiert.

Analyse der gegebenen Reihe

Betrachten wir die Reihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}$.

Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, untersuchen wir die Reihe der Absolutbeträge:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left| \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3} \right|$

Da die Terme $\frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}$ für alle $n$ nicht negativ sind, ist der Betrag unnötig, und es bleibt nur:

$\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}$

Um die Konvergenz dieser Reihe zu prüfen, verwenden wir den Quoten- oder Wurzeltest. Hier scheint der Quotientest am einfachsten.

Quotientest

Wir berechnen den Grenzwert des Verhältnisses aufeinanderfolgender Terme:

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$

Für $a_n = \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}$ ergibt sich:

$a_{n+1} = \frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3}$

Nun der Quotient:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3}}{\frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}} = \frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3} \cdot \frac{2(n^{2})!+3}{n^{2}+2}$

Diese Ausdrücke können schwierig direkt auszuwerten sein, daher beurteilen wir die Asymptotik der Terme im Verhältnis. Betrachten wir das Verhalten der Fakultätsterme:

Für große $n$ dominiert der Faktor $(n^{2})!$ im Nenner, weil Fakultäten sehr schnell anwachsen. Also nähern wir die Terme an und vereinfachen die Asymptotik nutzen:

$(n^2)! \approx ((n+1)^2)! \quad \text{für große } n$

Daher wird der Quotient:

$\frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3} \approx \frac{n^2 \text{ oder höherer Term}}{2(n^2 \text{ oder höherer Term)}} \rightarrow \text{ Bruch geht gegen 0}$

Da $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ gegen 0 geht, konvergiert die Reihe $\sum \frac{(n^2 + 2)}{2(n^2)!+3}$ absolut.

Schlussfolgerung

Die Reihe $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}$ ist absolut konvergent, da die Reihe der Beträge konvergiert.