Permanenzprinzip potenzgesetze

Question

Aufgabe:

Permanenzprinzip für Potenzen). Wie du weißt , ist fiur eine reelle Zahl \( a \) und eine natirliche Zahl \( n \in \mathbb{N}=\{1,2, \ldots\} \) die Potenz \( a^{n} \) definiert als das fortgesetzte Produkt
$$ a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots g}_{n} $$

a) Welche Potenzgesetze für Exponenten aus den natürlichen Zahlen ergeben sich direkt aus dieser Definition? (Die Angabe genügt.)

b) Als was muss man für \( a \neq 0 \) die Potenz \( a^{0} \) definieren, wenn diese Potenzgesetze auch fitr Exponenten in \( \mathbb{N}_{0}=\{0,1,2, \ldots\} \) gültig bleiben sollen? Welches Potenzgesetz erzwingt dies?

c) Wie muss man \( 0^{\circ} \) definieren, wenn die Funktion \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x^{0} \) bei 0 stetig sein soll?

d) Als was muss man fitr \( a \neq 0 \) die Potenzen \( a^{-1}, a^{-2}, \ldots \) und allgemein \( a^{-n} \) (für \( n \in \mathbb{N} \) ) definieren, wenn diese Potenzgesetze auch für Exponenten aus Z gültig bleiben sollen? Welches Potenzgesetz erzwingt dies?

Answer 1

a) 

a^m * a^n = a^(m + n)

a^m / a^n = a^(m - n)

a^n * b^n = (a * b)^n

a^n / b^n = (a / b)^n

(a^m)^n = a^(m * n)

b)

a^0 = 1

das folgt aus

a^(1 - 1) = a^1 / a^1 = 1

c)

lim (x → 0) x^0 = 1 also müsste 0^0 als 1 definiert werden.

d)

a^(-n) = a^(0 - n) = a^0 / a^n = 1/a^n

Answer 2

a) \(a^n\cdot a^m = \underbrace{a\cdot\dots \cdot a}_{n}\cdot \underbrace{a\cdot\dots \cdot a}_{m} = a^{m+n}\)

b) Es muss \(a^0\cdot a^n = a^{0+n}=a^n\) sein.

d) Es muss zum Beispiel \(a^{-3}\cdot a^5 = a^{-3+5}=a^2\) sein.

Answer 3

Hallo

 a) es ergibt sich sofort a^n*a^m=a^(n+m)

b) a^n/a^m⁼a^n-m für n=m

lul