Permanenzprinzip potenzgesetze

Question

Aufgabe:

Permanenzprinzip für Potenzen). Wie du weißt , ist fiur eine reelle Zahl $a$ und eine natirliche Zahl $n \in \mathbb{N}=\{1,2, \ldots\}$ die Potenz $a^{n}$ definiert als das fortgesetzte Produkt
$$a^{n}=\underbrace{a \cdot a \cdots g}_{n}$$

a) Welche Potenzgesetze für Exponenten aus den natürlichen Zahlen ergeben sich direkt aus dieser Definition? (Die Angabe genügt.)

b) Als was muss man für $a \neq 0$ die Potenz $a^{0}$ definieren, wenn diese Potenzgesetze auch fitr Exponenten in $\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2, \ldots\}$ gültig bleiben sollen? Welches Potenzgesetz erzwingt dies?

c) Wie muss man $0^{\circ}$ definieren, wenn die Funktion $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=x^{0}$ bei 0 stetig sein soll?

d) Als was muss man fitr $a \neq 0$ die Potenzen $a^{-1}, a^{-2}, \ldots$ und allgemein $a^{-n}$ (für $n \in \mathbb{N}$ ) definieren, wenn diese Potenzgesetze auch für Exponenten aus Z gültig bleiben sollen? Welches Potenzgesetz erzwingt dies?

Answer 1

a) 

a^m * aⁿ = a^(m + n)

a^m / aⁿ = a^(m - n)

aⁿ * bⁿ = (a * b)ⁿ

aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ

(a^m)ⁿ = a^(m * n)

b)

a⁰ = 1

das folgt aus

a^(1 - 1) = a¹ / a¹ = 1

c)

lim (x → 0) x⁰ = 1 also müsste 0⁰ als 1 definiert werden.

d)

a^(-n) = a^(0 - n) = a⁰ / aⁿ = 1/aⁿ

Answer 2

a) $a^n\cdot a^m = \underbrace{a\cdot\dots \cdot a}_{n}\cdot \underbrace{a\cdot\dots \cdot a}_{m} = a^{m+n}$

b) Es muss $a^0\cdot a^n = a^{0+n}=a^n$ sein.

d) Es muss zum Beispiel $a^{-3}\cdot a^5 = a^{-3+5}=a^2$ sein.

Answer 3

Hallo

 a) es ergibt sich sofort aⁿ*a^m=a^(n+m)

b) aⁿ/a^m=a^n-m für n=m

lul