Lösung der Anfangswertaufgabe bestimmen

Question

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Wir sollen eine Lösung der Anfangswertaufgabe bestimmen.

y' = -$\frac{x}{y}$ , y(0) = 1.

Wir sollen einen möglichst großen Definitionsbereich der Lösung angeben und sagen, ob die Lösung eindeutig bestimmt ist.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.y'=-\frac{x}{y}\quad\right.$$$$\left.\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad\right|\;\cdot y$$$$\left.y\frac{dy}{dx}=-x\quad\right|\;\cdot dx$$$$\left.y\,dy=-x\,dx\quad\right|\;\int\cdots$$$$\left.\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+c\quad\right.$$Die Randbedingung $y(0)=1$ liefert:$$\frac{1}{2}\cdot1^2=-\frac{1}{2}\cdot0^2+c\quad\Leftrightarrow\quad c=\frac{1}{2}$$Damit haben wir als Lösung:

$$\left.\frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.y^2=-x^2+1\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.y=\pm\sqrt{1-x^2}\quad\right.$$Theoretisch stehen 2 Lösungen zur Verfügung, eine positive und eine negative. Wegen der Randbedingung $y(0)=1>0$ kommt jedoch nur die positive Lösung in Betracht.$$y=\sqrt{1-x^2}$$Der maximale Definitionsbereich ist $D=[-1;1]$.

Comments

Vielen Dank! =)