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Aufgabe:


Beim Rechnen in den rationalen Zahlen übertragen
Schüler*innen in der Schule oft die Rechenvorschrift für die Multiplikation auf
die Addition, indem sie hier „Zähler plus Zähler, Nenner plus Nenner“ rechnen.

Wir definieren für [(a,b)],[(c,d)] ∈ ℚ mit a,b,c,d ∈ ℤ diese Addition ˜⊕ durch [(a,b)] ˜⊕ [(c,d)] := [(a + c,b + d)].

Zeigen Sie, dass diese Addition nicht wohldefiniert ist, dass also für (a,b),(a′,b′),(c,d),(c′,d′) ∈ Z×(Z\{0}) mit
(a,b) ∼(a′,b′) und (c,d) ∼ (c′,d′) nicht gilt, dass (a+c,b+d) ∼ (a′+c′,b′+d′).


Problem/Ansatz:

Ich möchte gar nicht gerne direkt die Lösung haben; mein Problem ist direkt der Anfang. Ich weiß nicht, was genau ich mit (a,b) ∼(a′,b′) und (c,d) ∼ (c′,d′) anfangen soll, also was genau das bedeutet.

Wir haben bereits für die Addition und Multiplikation in Q gezeigt, dass diese wohldefiniert sind. Da konnte ich alle Schritte nachvollziehen. Nun weiß ich aber nicht, was (a,b) ∼(a′,b′)und (c,d) ∼ (c′,d′) in genau diesem Beispiel bedeutet.

Wäre super, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte! Den Rest müsste ich dann selbst schaffen.

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was genau ich mit (a,b) ∼(a′,b′) und (c,d) ∼ (c′,d′) anfangen soll,

Im Beispiel Brüche gilt

 (1,4) ∼(2,8) und (4,10) ∼ (6,15) 

Und dann falsch (d.h. nach vorliegender Definition) gerechnet

1/4 + 4/10 = 5/14

aber

2/8 + 6/15 = 8/23

Nun sind aber 5/14 und 8/23 keine äquivalenten Zahlen in Q.

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