Rekursive Definition mit Wurzel

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Folge:

$$1, \sqrt{3}, \sqrt{3\sqrt{3}},\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}, ...$$

a)

Geben Sie eine rekursive Definition der Folge an.

b)

Geben Sie eine explizite Definition der Folge an

c)

Gegeben ist ein Rechteck mit Seiten x0 = 2 und y0 = 1. Nun wird in jedem Schritt ein Rechteck mit Seitenlängen xn und yn und Flächeninhalt 2 so berechnet, dass xn+1 das arithmetische Mittel von xn und yn ist. Geben Sie eine rekursive Darstellung von xn an, in der yn nicht vorkommt und berechnen Sie xn für n ∈ {1,2,3}. Was stellen Sie fest?

Answer 1

a) a₁=1, a_n = \( \sqrt{3a_{n-1}} \)

b) a_n = \(3^{1-\frac{1}{2^{n-1}}} \) →3 für n→∞

c) A0=2, x0=2, y0=1

A1=2, x1=1/2(2+2/2) = 3/2=1,5, y1= 4/3=1,33...

A2=2, x2=1/2(3/2+2/(3/2))=17/12=1,41666..., y1= 2/(17/12)= 24/17= 1,41176...

A3=2, x2=1/2(17/12+2/(17/12))=577/408=1,4142156...,  y3=2/(577/408)=816/577=1,4142114...

Xn=1/2(xn+2/xn)

wenn konvergent gegen x, dann x=1/2(x+2/x)⇔x=±√2

Das Rechteck wird immer quadratähnlicher.