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Aufgabe:

Bestimme alle Gruppenhomomorphismen

a) von ℤ nach S5;

b) von ℚ nach ℤ.

(Die Gruppen seien dabei stets mit ihren üblichen Verknüpfungen versehen.)

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a) Zu jedem \(\sigma\in S_5\) definieren wir einen Gruppenhomomorphismus

\(\phi_{\sigma}:\; \mathbb{Z} \rightarrow S_5\) durch \(\phi_{\sigma}(z)=\sigma^z\).

b) Angenommen, es gäbe einen Homomorphismus \(\phi\neq 0\) in

\(Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})\). Dann wäre \(\phi(\mathbb{Q})\neq \{0\}\) eine Untergruppe

von \(\mathbb{Z}\). Sei nun \(a=\min(\mathbb{N}^*\cap \phi(\mathbb{Q}))\).

Dann gibt es ein \(\frac{m}{n}\in \mathbb{Q}\) mit \(\phi(\frac{m}{n})=a\). Hieraus folgt:

\(a=\phi(\frac{m}{2n}+\frac{m}{2n})=\phi(\frac{m}{2n})+\phi(\frac{m}{2n})=2\cdot \phi(\frac{m}{2n})\), also

\(\phi(\frac{m}{2n})=\frac{a}{2}\) im Widerspruch zur Minimalität von \(a\).

Damit ist \(Hom(\mathbb{Q},\mathbb{Z})=\{0\}\).

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