Senkrechter Ballwurf

Question

Ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe(n) :)

Wenn ein Ball senkrecht in die Luft geworfen wird, lässt sich die Höhe gegenüber dem Boden (in Meter) mit der formel h(t) = h₀+v₀t-5t² bestimmen. h₀ ist die Abwurfhöhe in m und v₀ ist die Abwurfgeschwindigkeit in m/s und t die Flugzeit in s

Die Beschleunigung m/s² hat in der Formel den Wert -5

Die momentane Änderungsrate h'(t) entspricht der Geschwindigkeit v(t) des Balles

a) Erstelle eine Formel für die Geschwindigkeit  des Balles für die Abwurfhöhe 1,5 m und der Anfangsgeschwindigkeit 5 m/s

Das ist doch 1,5+5t-5t²  ,oder?

Jetzt die Aufgaben:

a)

1. Welche  Geschwindigkeit hat der Ball mit diesen Anfangswerten nach 2 Sek. ?

f(2)= -8,5 m/s

2. Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit halbiert

-8,5 / 2 = -4,25

-4,25 = 1,5+5t-5t² | +4,25

0= 5,75+5t-5t²

Nullstellen bestimmen: x₁= -0,683216,1 |   x₂= 1,68322

Nur positive ist relevant = nach 1,68322 Sekunden hat sich die Geschwindigkeit halbiert.

3. Nach welcher Zeit hat der Ball den höchsten Punkt erreicht?

Scheitelpunktform.... nach 0,5 Sekunden

b) Wie hoch muss die Abwurfgeschwindigkeit sein, damit der Ball bei einer Abwurfhöhe von 1,5 m eine Höhe von 5 m erreicht?

Da komme ich nicht weiter 

c) Erstelle eine allgemeine Formel für die Geschwindigkeit des Balles für eine beliebige Abwurfhöhe und eine beliebige Abwurfgeschwindigkeit

Da ebenfalls nicht

Comments

Die Beschleunigung hat hier nicht den Wert -5, sondern -10 m/s², entsprechend der Erdanziehung von ca. 9,81 m/s². In der Formel kommt noch ein Faktor \( \frac{1}{2} \) vor.

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Mhm, im Mathebuch steht: "In dieser Formel hat die Beschleunigung den Wert 5"

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Druckfehler passieren. Siehe auch Lösung unten in der ersten Antwort zu Aufgabe a1): 
5 m/s + 2 s * (-10 m/s²) = -15 m/s

Answer 1

a) Erstelle eine Formel für die Geschwindigkeit  des Balles für die Abwurfhöhe 1,5 m und der Anfangsgeschwindigkeit 5 m/s

s(t) = 1.5 + 5·t - 1/2·10·t^2

s(t) = 1.5 + 5·t - 5·t^2

v(t) = 5 - 10·t

1. Welche  Geschwindigkeit hat der Ball mit diesen Anfangswerten nach 2 Sek. ?

v(2) = 5 - 10·2 = -15 m/s

2. Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit halbiert

v(t) = 5 - 10·t = 2.5 --> t = 0.25 s

3. Nach welcher Zeit hat der Ball den höchsten Punkt erreicht?

v(t) = 5 - 10·t = 0 → t = 0.5 s

b) Wie hoch muss die Abwurfgeschwindigkeit sein, damit der Ball bei einer Abwurfhöhe von 1,5 m eine Höhe von 5 m erreicht?

s(t) = 1.5 + v0·t - 5·t^2

v(t) = v0 - 10·t = 0 --> t = v0/10

s(v0/10) = 1.5 + v0·(v0/10) - 5·(v0/10)^2 = 0.05·v0^2 + 1.5 = 5 --> v = √70 = 8.367 m/s

c) Erstelle eine allgemeine Formel für die Geschwindigkeit des Balles für eine beliebige Abwurfhöhe und eine beliebige Abwurfgeschwindigkeit

s(t) = s0 + v0·t - 5·t^2

Comments

Vielen lieben Dank!

Nur der Lösungs-/Rechenweg bei der Aufgabe ist für mich nicht ganz verständlich und nachvollziehbar :(

b) Wie hoch muss die Abwurfgeschwindigkeit sein, damit der Ball bei einer Abwurfhöhe von 1,5 m eine Höhe von 5 m erreicht?

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Die Formel mit unbekannter Abwurfgeschwindigkeit verstehst du noch ?

s(t) = 1.5 + v0·t - 5·t^2

Die Ableitung, also die Geschwindigkeitsfunktion muss am höchsten Punkt Null sein. Die Gleichung wird zur Zeit aufgelöst

v(t) = v0 - 10·t = 0 → t = v0/10

Jetzt wird das t in die Höhenfunktion eingesetzt und das gleich 5 gesetzt.

s(t) = 1.5 + v0·(v0/10) - 5·(v0/10)^2 = 5 → v0 = ...

Was verstehst du daran nicht.

Es wäre wünschenswert, wenn du nach meinem Ansatz die nötigen Zwischenschritte die ich weggelassen habe selber erbringst. Wenn du Probleme hast helfe ich aber gerne. Es übt aber wenn du es zunächst selber probierst.

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Hey,

wieso wird der Gravitationsfaktor halbiert?

LG

Answer 2

Das ist doch 1,5+5t-5t^2  ,oder?

Das ist die Formel für die Höhe, nicht für die Geschwindigkeit.

h(t)=1,5+5t-5t^2

v(t)=h'(t)=5-10t

1. Welche  Geschwindigkeit hat der Ball mit diesen Anfangswerten nach 2 Sek. ?

v(2s)=5-20=-15

2. Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit halbiert

v(t)=2.5=5-10t

10t=2.5

t=2.5/10=0.25

3. Nach welcher Zeit hat der Ball den höchsten Punkt erreicht?

Im höchsten Punkt gilt v=0, also

0=5-10t

t=0.5

Bei allen Rechnungen müssen die physikalischen Einheiten ergänzt werden.

Comments

Bei allen Rechnungen müssen die physikalischen Einheiten ergänzt werden.

Immer schön, wenn jemand daran denkt.

Das kann man wohl vermeiden, wenn man vorausschickt:

mit s in Metern, t in Sekunden  und v in m/s gilt:

Völlig unanfechtbar für eine reine Zahlenrechnung ist eine Substitution:

Seien   s = x m , t = y s  und  v = z m/s

Macht die Sache aber ein wenig unübersichtlich :-)

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Oder mit \(\LaTeX\): \(v=5\,\dfrac{\text m}{\text s}\).

Das ist aber etwas umständlich zu tippen.   ;-)

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Es ging mir ja um einen Trick, wie man in einer längeren physikalischen Rechnung das Mitschleppen physikalischer Einheiten vermeiden kann.

Ein häufig vorkommendes Beispiel ist das Auflösen der Gleichung

s(t) = 1/2 a t² + v₀ t + s₀    nach t

Mit "setze t = x s "  muss man für eine richtige quadratische Gleichung mit x nur Zahlen einsetzen, während das Mitschleppen von Einheiten z,B. bei der pq-Formel ziemlich lästig ist.