Normalverteilung - Umrechnung zur Standardnormalverteilung

Question

Hallo :)

meine Aufgabe ist die folgende:

X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Mittelwert μ=6 und der Standardabweichung σ=2. Die folgenden Werte von X sind in Standardeinheiten umzurechnen:

a.) 10,42

b.) -4,68

... 

Die Punkte sollen an dieser Stelle symbolisieren, dass da noch ein paar Teilaufgaben kommen, jedoch würde ich die dann gerne selber versuchen.

Mir fehlt leider jeder Ansatz, wie ich an die Aufgabe rangehen soll und hab das Skript des Dozenten schon drei mal durchgeblättert (wo ich leider nichts finde). Kleine Denkanstöße oder Hinweise würden mir, denke ich, schon ausreichen.

Vielen Dank und schönen Abend noch! :)

Answer 1

Aloha :)

Die Standardnormalverteilung \(N\) hat den Erwartungswert \(0\) und die Standardabweichung \(1\). Eine beliebige normal-verteilte Zufallsvariable \(X\) habe den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). Mittels der sog. "z-Transformation" kann eine normal-verteilte Zufallsvariable \(X\) in eine standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\) umgerechnet werden:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$Von allen \(x\)-Werten wird zuerst der Mittlelwert \(\mu\) subtrahiert. Übrig bleiben die Schwankungen um den Mittelwert \(0\). Die Stärke dieser Schwankungen wird mittels Division durch die Standardabweichung \(\sigma\) normiert.

Konkret in deinem Fall ist \(\mu=6\) und \(\sigma=2\). Die z-Transformation lautet daher:

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-6}{2}=\frac{x}{2}-3$$Damit kannst du nun alle deine Werte umrechnen.

Answer 2

a.) 10,42

(10.42 - 6)/2 = 2.21

b.) -4,68

(-4.68 - 6)/2 = -5.34