Integration: Wie komme ich von d(mv) auf das was im Buch stand? Mathematische Herleitung.

Question

Für die Kinetische Energie im relativistischen Fall gilt:

$T=m_{0} c^{2}\left\{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right\}$

Und als ich mir die Herleitung in einem Buch angeschaut habe, stand da etwas das ich mathematisch nicht ganz verstanden habe und zwar:

$\int \limits_{v=0}^{v=v} v d(m v)$
mit $d(m v)=d\left(\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} d v+\frac{m_{0} v^{2}}{c^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{3 / 2} } dv$

Wobei die Masse im relativistischen Fall:

$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Könnte mir jemand erklären wie ich von d(mv) auf das was im Buch stand, kommen kann ? Ich verstehe die Mathematik dahinter nicht.

Wie man integriert, verstehe ich schon aber wie gesagt ich verstehe nicht wie man von d(mv) auf diese 2 Brüche kommen kann

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Aloha :)

Für das totale Differential eines Produktes gilt nach der Produktregel:

$$d(mv)=dm\cdot v+m\cdot dv=v\cdot\frac{dm}{dv}\,dv+m\,dv=v\cdot \frac{d}{dv}\left(\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)\,dv+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,dv$$$$\phantom{d(mv)}=v\cdot\left(-\frac{1}{2}\,\frac{m_0}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}\cdot\left(-\frac{2v}{c^2}\right)\right)dv+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,dv$$$$\phantom{d(mv)}=\frac{m_0v^2}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}dv+\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\,dv$$

Comments

Vielen Vielen Dank hat mir echt weitergeholfen

könntest du mir sagen wann man eigentlich das totale Differential benötigt bzw. welche Bedeutung es hat und wann es nützlich wird ? wir hatten es auf der Schule nicht und ich versuch es mir selbst beizubringen aber ich verstehe ehrlich gesagt immer noch nicht, was es eigentlich ist.

Vielen Dank im voraus

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Betrachte eine Funktion $f(x,y)$, die von 2 Parametern $x$ und $y$ abhängt. Du kannst diese Funktion partiell nach $x$ ableiten (und dabei $y$ als Konstante betrachten), also $\frac{\partial f}{\partial x}$ berechnen, wenn du wissen möchtest, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen $dx$ von $x$ ändert. Ebenso kannst du die Funktion partiell nach $y$ ableiten (und dabei $x$ als Konstante betrachten), also $\frac{\partial f}{\partial y}$ berechnen, wenn du wissen möchtest, wie sich die Funktion bei kleinen Änderungen $dy$ von $y$ ändert.

Wenn du aber wissen möchtest, wie sich die Funktion $f$ ändert, wenn beide Variablen $x$ und $y$ zugleich variabel sind, kannst du die totale Ableitung bestimmen. Dazu benötigst du eine Variable, von der sowohl $x$ als auch $y$ abhängt. In der Regel ist diese Variable die Zeit $t$. Das heißt, du kannst Funktionen der Form $x=x(t)$ und $y=y(t)$ angeben. Nach der Kettenregel ist dann die totale Ableitung:$$\frac{d}{dt}f(x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}$$Bei Integralen z.B. wird oft das totale Differential $df$ benötigt. Dieses lautet entsprechend:

$$df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$$Das hat den großen Vorteil, dass man gar nicht wissen muss, wie $x=x(t)$ bzw. $y=y(t)$ konkret aussehen. In deinem Beispiel von oben braucht man z.B. gar nicht zu wissen, wie genau der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit $v(t)$ ist und kann trotzdem das totale Differential $d(mv)$ des Impulses bestimmen.

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WOW Das war sehr sehr hilfreich! Bedanke mich herzlich !

Answer 2

Hallo,

es gilt

$$d(m v)=\frac{d(m v)}{dv}dv$$, der mittlere Faktor ist die erste Ableitung!

Die Ableitung berechnet sich am leichtesten mit der Produktregel:

$$\frac{d(m v)}{dv}=\frac{d}{dv}(\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}})=m_{0}\frac{d}{dv}(v*(1-v^2/c^2)^{-1/2})=...$$