Skalarprodukt, Spatprodukt

Question

Seien u = ( 1  -2  3 )^T ,  v = ( 1  3  2 )^T ,  w = ( -1  1  1 )^T  Koordinatenvektoren bzgl eines kartesischen Koordinatensystems des E³.

1. Berechnen Sie die Skalarprodukte u^Tv ,  u^Tw ,  v^Tw. Welche Vektoren sind orthogonal zueinander? 

2. Berechnen Sie das Spatprodukt der durch u, v und w gegebenen Vektoren. 

Answer 1

Skalarprodukte:

u^Tv = ( 1  -2  3 ) * ( 1  3  2 )^T = 1 * + ( - 2 ) * ( 3 ) + 3 * 2  = 1

u^Tw = ( 1  -2  3 ) * ( -1  1  1 )^T = 1 * ( - 1 ) + ( - 2 ) * 1 + 3 * 1 = 0

v^Tw = ( 1  3  2 ) * ( -1  1  1 )^T = 1 * ( - 1 ) + 3 * 1 + 2 * 1 = 4

Es gilt:

Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 hat.
Also sind die Vektoren u und w orthogonal.

Spatprodukt:

$$(\vec { u } x\vec { v } )*\vec { w }$$$$=det\left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} \right)$$$$=1*3*1+1*1*3+(-1)*(-2)*2$$$$-((-1*3*3+1*(-2)*1+1*1*2)$$$$=10-(-9)=19$$

Answer 2

1. Berechnen Sie die Skalarprodukte u^Tv ,  u^Tw ,  v^Tw. Welche Vektoren sind orthogonal zueinander? 

u = [1, -2, 3]
v = [1, 3, 2]
w = [-1, 1, 1]

u*v = 1
u*w = 0 senkrecht
v*w = 4

2. Berechnen Sie das Spatprodukt der durch u, v und w gegebenen Vektoren

(uxv)*w = [-13, 1, 5] * w = 19