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funktionen mengenidentität

Jegliche kommentare und tips bzw anleitungen in superkurzform oder auch superausführlich oder jegliches ähnliches ist sehr herzlich willkommen und sehr geschätzt. Nahezu alles hilft : )


Text (für die Suche): Aufgabe 3: Funktionen a) Sei f : A —> B eine Funktion und N, N’ Q B zwei beliebige Teilmengen. Zeigen Sie, dass dann die Mengenidentität f’1(N UN’) = f‘1(N) U f‘1(N') gilt. b) Zeigen Sie, dass eine Funktion f : A —> B genau dann injektiv ist, wenn für beliebige Teilmengen M, M’ Q A die Identität f(M fl M’) = f(M) F‘! f(M’) gilt. Beachten Sie, dass zum Beweis dieser Aussage zwei Richtungen notwendig sind. Aufgabe 4: Funktionen II Drei Funktionen f‚g : R x R —> R und h : R —> R x R sind definiert durch f(a:, y) = xy, g(a:,y) = y — 2:1: +1 und h(x) = (a:‚|:r2). Untersuchen Sie die Funktionen fh, gh : R —> R und h f : R x R —> R x R auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und begründen Sie ihre Antworten kurz.

Gefragt von

2 Antworten

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Hier mal ein Teil von Aufgabe 4

Aufgabe 4: Funktionen II Drei Funktionen f‚g : R x R —> R und h : R —> R x R sind definiert durch

f(x, y) = xy,

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

Untersuchen Sie die Funktionen fh, gh : R —> R und h f : R x R —> R x R auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität und begründen Sie ihre Antworten kurz.

 

h f : R x R —> R x R

Da h(x) = (x | x2) und beim Quadrieren nichts Negatives raukommen kann         kommt im Bildbereich sicher (1 | -1) nicht vor. Deshalb ist h f weder surjektiv noch bijektiv.

h f ist auch nicht injektiv, da es Bildpunkte gibt, die mehr als ein Urbild haben.

Bsp.         f(1 | 2) = 2 davon noch h also h(f(1|2)) = h(2) = (2| 4) 

                 f(2 | 1) = 2 davon noch h also h(f(2|1)) = h(2) = (2| 4)         Urbild von (2|4) ist auch (2|1)

 

f(x, y) = xy,

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

fh, gh : R —> R

f(h(x)) = f(x|x^2) = x^3         R-->R ist bijektiv injektiv und surjektiv, da es u(x) = x^3 entspricht.

g(h(x)) =g(x|x^2) = x^2 - 2x + 1 = (x – 1)^2 

entspricht einer quadratischen Funktion. Parabel mit Scheitelpunkt in (1/0).      Bildbereich nur R+ also weder surjektiv noch bijektiv. Da g(h(0)) = g(h(2)) = 1 auch nicht injektiv.

Beantwortet von 143 k
damit f(h(x)) surjektiv ist, müsste die zahl 2 darstellbar sein, was in diesem fall nicht geht; entsprechend liegt doch keine surjektivität vor - habe ich das richtig verstanden?
oh gott die bearbeitungszeit scheint begrenzt zu sein....

daher nochmal in kurzform:

(1) f(h(x))

sollte nicht surjektiv sein, da z.b. 2 nicht darstellenbar ist - richtig?

(2) g(h(x)

zitat: "Da g(h(0)) = g(h(-2)) = 1"

mit -2 erhält man 9; mit 2 erhält man allerdings 1 (genauso wie mit 0; argumentation daher richtig)
(1) f(h(x))

sollte nicht surjektiv sein, da z.b. 2 nicht darstellenbar ist - richtig?

nein: x ist hier Element von R. Da ist auch die 3. Wurzel von 2 erlaubt.

(2) g(h(x)

zitat: "Da g(h(0)) = g(h(-2)) = 1"

auch nicht:

(-2+1)^2 = (-1)^2 = 1

g(x,y) = y — 2x+1 und

h(x) = (x | x2).

g(h(2)) = g(2 , 4) = 4 - 2*2 + 1 = 1

g(h(-2)) = g(-2 , 4) = 4 - 2*(-2) + 1 = 9

wie kommst du auf (x+1)^2?

ups. DAnke! ich hatte da einen Fehler in der Umformung

 

g(h(x)) =g(x|x^2) = x^2 - 2x + 1 = (x+1)^2 

Sollte

g(h(x)) =g(x|x^2) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 

heissen

nun ist die Symmetrie auch bei mir bei x=1

g(h(2)) = g(h(0))= 1           Also ein Bsp. für 2 Urbilder von 1. Deshalb nicht injektiv.


 

haha nichts zu danken
0 Daumen
Es geht es hierbei auch nciht ums "abschreiben" im sinne von vermeiden von investierten zeitstunden in arbeit oder vortäuschen von nicht vorhandenem verständis oder sonstigen fähigkeiten. Es dreht sich bei dem ganzen nicht darum lediglich irgendwie punkte in den übungen einzufahren, denn das hilft einem letztendlich weder in der klausur, noch langfristig(in bezug auf die ziele die man mittels eines solchen studiums anstrebt) in irgendeiner art und weise weiter. Es geht bei dem ganzen um herangehensweise, verständnis und reproduzierbarkeit. Die lieben menschen die hier regelmäßig zu aufgaben solchen kalibers posten sind auch nicht auf den kopf gefallen und halten ihre antworten offensichtlich bewusst im rahmen, da sie wissen dass komplette lösungen zwar schöner aber weniger oft fördernd sind. Und wenn doch mal jemand eine sehr komplette lösung postet, dann ist es (abgesehen vom risiko falscher antworten) immernoch jedem selbst überlassen, ob er oder sie den oben angedeuteten weg beschreitet, oder ob er oder sie sich die lösung nimmt und sie durchkaut bis zur intuitiven reproduzierbarkeit.

was ich zu sagen versuche:

Ob jemand eine hausaufgabe "selber macht" oder lösungen kopiert sollte nicht im interesse anderer, sondern im interesse der einzelnen studenten sein, denn es ist der dominantere faktor für zukünftigen erfolg.
Beantwortet von
Erst mal Deutsch lernen. Dann in logisch sinnvoller Weise, Satz für Satz  "aufbauend" zu antworten.

Der "dominantere faktor..." usw. ist  Wissenserwerb, Lernerfolg. Übrigens kann es schon spannend sein, die Lösung einer Aufgabe nachzuvollziehen!

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