(Matrixkalkül) Zeigen sie

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ R^{n x n} positiv definit. Zeigen Sie:

a) a_{ii > 0 für i = 1,....,n}

b) a_ij² < a_{ii *}a_jj für i,j = 1,....,n mit i ungleich j. Nutzen sie dazu die Tatsache,dass das Polynom f(alpha) := (alpha*e⁽ⁱ⁾ + e^(j))^T *A*(alpha*e⁽ⁱ⁾ + e^(j)) keine reellen Nullstellen besitzt.

Problem/Ansatz

Ich verstehe bei der a nicht wie man zeigt, dass es größer als null ist und bei der b verstehe ich nicht wie man das Größenverhältnis zeigen soll wenn man die gennante Tatsache miteinbezieht.

Comments

Tipp zu a)  $a_{ii}=e_i^\top\cdot A\cdot e_i$.

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Vielen Dank ich verstehe trotzdem nicht ganz wie mir das weiterhelfen soll. Ich war krank und versuche gerade das ganze Thema nachzuholen. Tortzdem vielen Dank für die Antwort

Answer 1

a) Da $e_i\neq 0$ folgt aus der positiven Definitheit von $A$:

$0\lt e_i^TAe_i=a_{ii}$ für $i=1,\cdots,n$.

b) Sei $i\neq j$, dann ist $\alpha e_i+e_j\neq 0$ für alle reellen $\alpha$.

Wegen der positiven Definitheit von $A$ ergibt dies

$0\lt (\alpha e_i+e_j)^TA(\alpha e_i+e_j)=a_{ii}\alpha^2+2a_{ij}\alpha+a_{jj}$.

Also hat die quadratische Gleichung $a_{ii}\alpha^2+2a_{ij}\alpha+a_{jj}=0$

keine reelle Lösung $\alpha$, d.h. die Diskriminante der Gleichung

ist negativ: $4a_{ij}^2-4a_{ii}a_{jj}\lt 0$, also $a_{ij}^2<a_{ii}a_{jj}$.