Sei A ∈ Kn×n mit rg(A) < n. Zeigen Sie, dass 0 ein Eigenwert von A ist.
Sei A ∈ Kn×n mit rg(A) < n
Sei f: K^n → K^n der Endomorphismus mit f(x) = A(x) .
Wegen rg(A) < n ==> dim f(K^n) < n
==> dim ( Kern (f)) > 0
==> Es gibt ein v ∈ K^n \ {0} mit f(v) = 0 = 0*v
==> v ist Eigenvektor zum Eigenwert 0. q.e.d.
a= (a) Sei f ein Endomorphismus des K-Vektorraums V . Zeigen Sie: Ist jeder Vektor v ≠ 0 ein
Eigenvektor von f, so existiert ein λ ∈ K mit f = λ · idV .
Das ist gezeigt, wenn man weiss: Für eine Basis von V sind alle
Basiselement Eigenvektoren zum GLEICHEN Eigenwert λ.
Dies folgt sofort aus der Überlegung, dass unter der
genannten Voraussetzung je zwei linear unabhängige Vektoren
Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind.
Bew.: Seien u,v lin. unabh. Eigenvektoren zu den Eigenwerten a und b.
==> f(u)=a*u und f(v)=b*v . Also auch f(u+v) = a*u + b*v #
Nun ist aber u+v auch ein Eigenvektor, etwa zum Eigenwert k.
==> f(u+v) = k*(u+v) = k*u + k*v ##
# und ## zeigen: a*u + b*v = k*u + k*v
<=> (a-k)*u + (b-k)*v = 0-Vektor
Da u und v lin. unabh. sind folgt a=k und b=k ,
also sind die Eigenwerte a und b gleich.
