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Welche Bedeutung haben die Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel für die Satellitenbewegungen ?

für eine Eindeutige Erklärung wär ich dankbar.
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Man kann zeigen, dass aus der Energieerhaltung eines rotierenden Objekts im Gravitationsfeld eine Bewegungsgleichung folgt, die z.B. durch die folgende Bahnkurve gelöst wird:

$$ r ( \phi ) = \frac { k } { 1 + \epsilon \cos ( \phi ) } $$

Diese Gleichung ist aber gerade die Parameterdarstellung eines Kegelschnittes.

Unter einem Kegelschnitt versteht man die Schnittmenge zwischen einem Kegel und einer Ebenen. Die Lage der Ebene wirden dabei durch die freien Parameter k und ε festgelegt.

Man kann sich relativ einfach überlegen, welche Formen bei diesem Schnitt herauskommen können:
wenn die Ebene parallel zum Kegelboden ist, erhält man einen Kreis, mit unterschiedlichen Radien je nach Höhe des Schnitts.

Wenn die Ebene schief liegt, aber komplett durch den Kegel hindurchgeht, erhält man eine Ellipse.

Wenn die Ebene parallel zu einer der Mantellinien des Kegels liegt, erhält man eine Parabel.

Wenn die Ebene schief liegt und nur ein seitliches Stück vom Kegel abschneidet, erhält man eine Hyperbel.


Das das alles tatsächlich so ist, ist relativ kompliziert aber man kann es komplett mit der oben gegebenen Formel nachrechnen.

Ein kleines Bild noch:

Kegelschnitt

Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Kegelschnitt.png&filetimestamp=20050413205901 ©cc-by-ca Duk

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