Gruppenhomomorphismus und Normalteiler. Mathematik für Informatiker.

Question

Aufgabe:

Sei $\varphi: G \longrightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

(a) Ist $M \subset F$ ein Normalteiler, dann ist $\varphi^{-1}(M) \subset G$ ein Normalteiler.
(b) Ist $\varphi$ surjektiv und $N \subset G$ ein Normalteiler, dann ist $\varphi(N) \subset F$ ein Normalteiler.

Answer 1

Für a) ist zu zeigen:   ( unter der Vor. M Normalteiler in F)

$\varphi^{-1}(M)$ ist ein Normalteiler von G .

d.h. Für alle y ∈ G und alle x∈ φ^(-1)(M) gilt  y*x*y^(-1) ∈ φ^(-1)(M)

<=>  Es gibt ein z∈M mit z = φ(    y*x*y^(-1)  )

Da φ ein Hom also

<=> z = φ(    y)   * φ( x) *φ(  y^(-1)  )

<=>  z = φ(    y)   * φ( x) *φ(  y) ^(-1)

Und weil φ(  y) ∈ M und M Normalteiler in F
und  φ(    y)  ∈ F ist   φ(    y)   * φ( x) *φ(  y) ^(-1)  ∈M

also  z∈M .    q.e.d.