Grenzwert einer Zahlenfolge berechnen

Question

Aufgabe:

Bei einer nicht alternierenden geometrischen Folge $a_{k}$ mit $k=1,2, \ldots .$ gilt: $a_{12}=20$ und $a_{20}=10$

a) Berechnen Sie die exakten Werte des Quotienten $q$ und des Anfangsglieds $a_{1}$

b) Bestimmen Sie $a_{100}$ als exakten Wert.

c) Geben Sie den exakten Wert der Summe $\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k}$ an.

Ich habe a und b gelöst, jedoch bei c scheiterts wegen meine Know-How an Grenzwerten... Wie muss ich da generell vorgehen? Hat mir jemand einen Vorschlag oder Tipp?

Answer 1

20*q⁸= 10

q⁸ = 0,5

q= 0,5^(1/8)

a1= a12*q^(-11)

b)a100= a20*q⁸⁰

c) Summe = a1/(1-q)

Comments

Vielen Dank. Ich hötte eine Frage bezüglich Grenzwerten. Wenn mein Zähler und mein Nenner den gleichen Grad haben.. wieso teilt man durch den exponenten? Beispiel:

Text erkannt:

$\frac{t^{2} n+2}{\sqrt{n^{2}+1}+\sqrt{n^{2}-2 n-1}}$

 Hier multipliziert man ja danach 1/x² und kann schauen, was gegen null geht, aber wieso?

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Klammere im Nenner n aus und kürze mit n.

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. wieso teilt man durch den exponenten?
Hier multipliziert man ja danach 1/x²

Mann, Mann, Mann, ...

Nirgendwo wird durch den Exponenten geteilt. Und da, wo nur n vorkam, hat auch niemand  mit 1/x² multipliziert.

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Man kann ja n² ausklammern dann wäre: 2n/n / Wurzel (n²/n² + n/n²) + Wurzel(n²/n² - n/n²) -> 2/Wurzel(1)+Wurzel(1) = 1 .. Ich wende die Regeln an, aber ich verstehe nicht, wieso man es macht...

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Klammere unter den WUrzeln n² aus, dann Teilwurzeln aus den Produkten ziehen.

Dann hast du n als Faktor vor der Wurzel, mit dem du kürzen kannst.

√(a²-b) = √a²(1-b/a²) = a*(√1-b/a²)

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aber ich verstehe nicht, wieso man es macht...

Man macht es, damit der Term seine nicht nutzbare Form

$\frac{∞}{∞+∞}$  verliert.