Funktionenscharen: Zeige dass fk mit mit fk(x)=(k−x)e^x genau einen Extrempunkt hat

Question

Zeigen Sie, dass jede Funktion der Funktionenschar fk mit f(x)=(k−x)e^x und k (element R) genau einen Extrempunkt hat und dass die Extrempunkte aller Funktionen auf dem Graphen der Funktion g mit g(x)=e^x liegen.
Die Funktionen sind: f1(x)=(1−x)e^x;f2(x)=(2−x)e^x und f3(x)=(3−x)e^x.

Dies ist eine Aufgabe meine Präsentationsprüfung in Mathe und ich habe leider keine Ahnung wie ich das angehen soll. Habe das ganze Internet durchsucht und Schüler aus meinem Kurs gefragt jedoch kann mir niemand dabei Helfen.
Und es wäre super lieb wenn mir jemand dabei Hilft oder mir diese Aufgabe vorrechnet. Es ist wirklich !!

Schonmal Lieben Gruß, Vanessa

Meine Idee:

Zuerst habe ich die erste Ableitung von fk(x) gebildet und sie gleich null gesetzt, dann habe ich fk(x)=0=−e^x+(k−x)e^x
=e^x+ ke^x −e^xx
e^x hab ich dann ausgeklammert und dann kam 0=−1+k−x raus.
Dann nach x umgestellt und dann in fk(x) eingesetzt.
Mein Ergebnis wäre dann E(−1+k|ex−1+k)
Jedoch finde ich das irgendwie total unsinnig. denn damit habe ich doch nicht bewiesen das genau ein extrempunkt da ist und das alle extrempunkte auf dem graphen der funktion g liegen, oder doch?
Wenn wüsste ich nicht wie ich es in meiner Präsentationsleistung begründen soll. Also bitte helft mir!

Comments

Wenn die 1. Ableitung nur eine Nullstelle hat, gibt es nur einen Extrempunkt in f, sonst hätte die 1. Ableitung ja mehrere Nullstellen.

Soll ex e*x oder e^x heißen?

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e^x sollte das heißen. sorry :/

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Falls e^x

1. Ableitung ist richtig. Diese Null setzen und x berechnen (x = k-1)

Mit der 2. Ableitung prüfen, ob ein Extremum bei x= k-1 wahrhaftig vorliegt. Scheint wohl der Fall zu sein (Maximum).

Extremwertstelle (x,y): (k-1| e^{(k - 1)}). Diese Punkt soll auf der Kurve y = e^x liegen. Also:

y = e^(k-1) = e ^(k-1) -> Stimmt.

Answer 1

Untersuche am besten allgemein die Funktion

fa(x) = (a - x)·e^x

Wir leiten diese Funktion nach Produktregel ab:

fa'(x) = -1·e^x + (a - x)·e^x

Wir fassen das zusammen indem wir e^x ausklammern

fa'(x) = (a - 1 - x)·e^x

Nach dem Satz vom Nullprodukt kann die Ableitung nur Null werden, wenn die Klammer Null wird. e^wird ja nie Null.

a - 1 - x = 0

x = a - 1

Wir haben also eine Extremstelle bei a - 1.

Um bei x eine Nullstelle zu haben muss für a gelten

a = x + 1

Das können wir also für a in die Ausgangsgleichung einsetzen

 

f(x) = ((x + 1) - x)·e^x = e^x

Alle Extrempunkt befinden sich also auf dem Graphen von e^x.