Funktionsschar f(x)=x³+kx²+2 Zeige, dass es für alle Werte von k einen Extrempunkt P(0|2) gibt.

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Hallo habe folgende Funktion: f(x)=x^3+kx^2+2

Meine Aufgabe ich muss zeigen,dass es für alle Werte von k einen Extrempunkt gibt mit P0/2

So muss dann ja erstmal ableiten und gleich 0 setzen.

f´(x)=3x^2+k=0

So jetzt muss ich glaub ich pq Formel einsetzen oder?

Komm da nicht weiter kann mir einer vielleicht das vorrechnen

Wäre nett

 

MFG
Gefragt 7 Jul 2012 von Gast if8100

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f(x)=x3+kx2+2

1. Ableitung ist: f'(x)=3*x2+2*k*x

Null setzen zum Finden der Extrempunkte: 3*x2+2*k*x = 0

// x ausklammern

x*(3*x+2*k) = 0

Die erste Nullstelle ist bei x1 = 0

Die zweite Nullstelle (den Term in Klammern null setzen):

3*x+2*k = 0    | - 2*k

3*x = -2*k       | :3

x = -2/3*k

Die zweite Nullstelle ist bei x2 = -2/3*k

 

Dich interessiert die erste Nullstelle mit x1 = 0.

Dieses setzt du in die Funktionsgleichung ein und erhältst:

f(x)=x3+kx2+2

f(0)=03+k*02+2 = 2

→ P(0 | 2)

 

Hier sind einige Funktionsgraphen mit Beispielwerten k=1, k=2, k=-3. Alle Funktionen haben einen Extrempunkt bei P(0|2):

Funktionsgraphen: Funktionsschar x hoch 3 + k*x hoch 2 + 2

 

Da hier ein Parameter k gegeben ist, der die Funktion verändert, fällt das ganze Thema unter das Stichwort: Funktionsscharen bzw. Kurvenscharen.

 

Beantwortet 7 Jul 2012 von Matheretter Experte V

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