Funktionenschar mit fk(x)=(x2 - k + 1)*e-x und Kraftstoffverbrauch

Question

Aufgabe Funktionenschar und Kraftstoffverbrauch:

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{k}$ mit $f_{k}(x)=\left(x^{2}-k+1\right) e^{-x}$ mit $k \in \mathbb{R}$.

4.1 Untersuchen Sie die Funktionenschar im Hinblick auf folgende Aspekte:

- Verhalten für $\mathrm{x} \rightarrow \infty$ bzw. $\mathrm{x} \rightarrow-a$

- Extremstellen

- Nullstellen

- Wendestellen

Zur Kontrolle: $f_{k}^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+2 x+k-1\right) e^{-x}$

4.2 Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte auf dem Graphen einer Funktion $\mathrm{g}$ liegen, und bestimmen Sie $\mathrm{g}(\mathrm{x})$. Untersuchen Sie, welche Punkte des Graphen von $\mathrm{g}$ nicht Extrempunkte der Funktionenschar $\mathrm{f}_{k}$ sind.

4.3 Der momentane Kraftstoffverbrauch (in $\left.\frac{l}{min}\right)$ eines Motors während eines 2 -minütigen Testlaufs kann für $0 \leq x \leq 2$ ( $x$ in min) beschrieben werden durch die Funktion $f_{k}$ mit $f_{k}(x)=\left(x^{2}-k+1\right) e^{-x}$ und $0,5 \leq \mathrm{k} \leq 0,9$. Dabei hängt der Parameter $\mathrm{k}$ von spezifischen Einstellungen des Motors ab.

a) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Änderungsrate des momentanen Kraftstoffverbrauchs in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter k am größten ist.

b) Der gesamte Kraftstoffverbrauch während des 2 -minütigen Testlaufs soll nicht größer ats 11 sein. Untersuchen Sie, welche Einschränkungen sich hieraus für den Parameter $k \in[0,5 ; 0,9]$ ergeben

Ansatz/Problem:

Also ich weiß nicht wie ich die Punkte von g(x) bestimmen soll die nicht Extrempunkt von f sind (4.2) und wenn ich das Integral von Null bis 2 der Funktion für 4.3 b berechnen will teile ich durch null deshalb komme ich nicht zu einem Ergebnis. Bei 4.3 a wird doch letztlich das Maximum der Funktion bestimmt oder?

Answer 1

4.2. Ein Punkt des Graphen ist nur Sattelpunkt der Funktion und nicht Extrempunkt.

Kommst du drauf welcher Punkt das ist?

4.3.a. Das Maxium der Änderungsrate ist dort wo die Wendepunkte sind.

4.3.b. F(x) = -e^-x·(x² + 2·x - k + 3) Wo musstest du durch 0 teilen ?