Aufgabe Funktionenschar und Kraftstoffverbrauch:
Gegeben ist die Funktionenschar \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=\left(x^{2}-k+1\right) e^{-x} \) mit \( k \in \mathbb{R} \).
4.1 Untersuchen Sie die Funktionenschar im Hinblick auf folgende Aspekte:
- Verhalten für \( \mathrm{x} \rightarrow \infty \) bzw. \( \mathrm{x} \rightarrow-a \)
- Extremstellen
- Nullstellen
- Wendestellen
Zur Kontrolle: \( f_{k}^{\prime}(x)=\left(-x^{2}+2 x+k-1\right) e^{-x} \)
4.2 Zeigen Sie, dass alle Extrempunkte auf dem Graphen einer Funktion \( \mathrm{g} \) liegen, und bestimmen Sie \( \mathrm{g}(\mathrm{x}) \). Untersuchen Sie, welche Punkte des Graphen von \( \mathrm{g} \) nicht Extrempunkte der Funktionenschar \( \mathrm{f}_{k} \) sind.
4.3 Der momentane Kraftstoffverbrauch (in \( \left.\frac{l}{min}\right) \) eines Motors während eines 2 -minütigen Testlaufs kann für \( 0 \leq x \leq 2 \) ( \( x \) in min) beschrieben werden durch die Funktion \( f_{k} \) mit \( f_{k}(x)=\left(x^{2}-k+1\right) e^{-x} \) und \( 0,5 \leq \mathrm{k} \leq 0,9 \). Dabei hängt der Parameter \( \mathrm{k} \) von spezifischen Einstellungen des Motors ab.
a) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Änderungsrate des momentanen Kraftstoffverbrauchs in Abhängigkeit vom jeweiligen Parameter k am größten ist.
b) Der gesamte Kraftstoffverbrauch während des 2 -minütigen Testlaufs soll nicht größer ats 11 sein. Untersuchen Sie, welche Einschränkungen sich hieraus für den Parameter \( k \in[0,5 ; 0,9] \) ergeben
Ansatz/Problem:
Also ich weiß nicht wie ich die Punkte von g(x) bestimmen soll die nicht Extrempunkt von f sind (4.2) und wenn ich das Integral von Null bis 2 der Funktion für 4.3 b berechnen will teile ich durch null deshalb komme ich nicht zu einem Ergebnis. Bei 4.3 a wird doch letztlich das Maximum der Funktion bestimmt oder?
