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Hallo ich habe folgende Aufgabe gegeben und komme nicht weiter

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass die Menge eine Untermannigfaltigkeit vom R3 ist, und die Tangentialebene im Punkt p ermitteln.

A={(x,y,z) ∈ R3 | z3+3xyz=1},  p=(0,1,1)


Problem/Ansatz:

Für die Untermannigfaltigkeit: hier hätte ich nun die Jacobimatrix bestimmt, "verschwindet" die Ableitung nicht, so ist es eine Untermannigfaltigkeit?

Meine Jacobimatrix lautet: J(x,y,z)= (3yz    3xz   3xy+3z^2)

Bei der Tangentialebene komme ich leider gar nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich vorgehen muss.


Danke schon einmal für eure Hilfe

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Hallo,

setzte \(f: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}, (x,y,z)\mapsto z^3+3xyz-1\), dann gilt für die Menge \(A\):$$A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : z^3+3xyz=1\}=A=\{(x,y,z)\in \mathbb{R} : f(x,y,z)=0\}$$ Du bildest jetzt den Gradienten$$\nabla f(x,y,z)=(3yz, 3xz, 3z^2+3xy)^T\overset{!}{=}(0,0,0)$$ Dies gilt für alle \(y=z=0\) und \(x\) beliebig. Wenn \(z=y=0\), ist es für die Menge eh egal, welches \(x\) man wählt, denn \((t,0,0)\notin A\) für alle \(t\in \mathbb{R}\). Nach dem Satz über den regulären Wert, haben wir nun also eine \(2\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des \(\mathbb{R}^3\).

Du suchst nun eine Tangentialebene an eine implizit gegebene Fläche. Es ist \(\nabla f(1,1,0)=(0,0,3)^T\neq (0,0,0)\). Die Tangentialebene ist gegeben durch $$f_x(1,1,0)(x-1)+f_y(1,1,0)(y-1)+f_z(1,1,0)(z-0)=0$$ Also hast du \(E= \{(x,y,z)\in \mathbb{R} : 3z=0\}\).

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